2019-02-26

第四讲：常见公式整理

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ , $\frac{d^2x}{dt^2}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ $\frac{d^2x}{dt^2}$

tips：

务必注意一维和高维的公式有哪些异同

知识点

一维运动的位矢

$x=x(t)$
一维运动的速度(速率)

$v=\frac{dx}{dt}$
一维运动的加速度

$a=\frac{dv}{dt}$

$a=\frac{d^2x}{dt^2}$
高维运动的位置
- 直角坐标系： $\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$
- 自然坐标系： $s=s(t)$
  - tips: 特别适用于列车往返，圆周运动等轨迹确定的运动
高维运动的速度
- 直角坐标系： $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx(t)}{dt}\vec{i}+\frac{dy(t)}{dt}\vec{j}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}$
- 自然坐标系： $\vec{v}=v(t)\vec{e}_t$
高维运动的速率
- 直角坐标系： $v=|\vec{v}|=|\frac{d\vec{r}}{dt}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}$
- 自然坐标系： $v=v(t)=\frac{ds(t)}{dt}$
高维运动的加速度
- 直角坐标系： $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv_x(t)}{dt}\vec{i}+\frac{dv_y(t)}{dt}\vec{j}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}$
- 自然坐标系： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$
高维运动的加速度的大小
- 直角坐标系： $a=|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{(\frac{dv_x}{dt})^2+(\frac{dv_y}{dt})^2}$
- 自然坐标系： $a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}=\sqrt{(\frac{v^2}{R})^2+(\frac{dv}{dt})^2}$

例题

例1.

一质点在某瞬时的位矢为 $\vec{r}(x,y)$ ，对其速度的大小为

(1) $\frac{dr}{dt}$ ；
(2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ ；
(3) $\frac{ds}{dt}$ ；
(4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}$ .

上述判断正确的是

解答：34

例2.

质点作曲线运动，对下列表述中，

(1) $dv/dt=a$ ；
(2) $dr/dt=v$ ；
(3) $ds/dt=v$ ；
(4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}$ ．
正确的是(　　)

解答：3

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知识点

例题

例1.

例2.

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