20.偶函数为z^2的函数~对实数复数中根式运算的讨论

偶函数的变量次数为偶数

这个在前面都讨论过了,偶次幂总可以变为平方,只要函数可以拆解为z^2,就可以满足偶函数定义。

疑惑点

根号z^2为什么不可行?

按照书上所讲,就有这个式子成立,

但是,上面的式子成立吗?

这些又如何?

这就很奇怪了,

下面是我的理解。根号都视为复数域的二次方根。那么,就都不对。但是,上面的式子好像在实数范围是成立的,以前见过很多次了。我也不知道对错了。

根式运算

关于根式运算,在实数域与复数域中有很大不同。

实数范围,仅在非负实数上定义了偶数次方根,所有实数都有奇数次方根。

所以,对于偶数次方根,又包含二根,与算数根,算数根也就是正根,当然,这些只限于非负实数。

而奇数次方根,只有一个根,也就不用区分。

在复数范围,根式的定义范围扩大了,在全体复数上都同时有偶数次方根与奇数次方根。

其实,设计了三个方面的扩大。

1.负实数有偶数次方根。即所有实数都定义了n次方根。

2.实数的n次方根有n个值。

3.虚数定义了n次方根,并且有n个值。

归纳起来就是:

所有复数都定义了n次方根,并且有n个值。

回头看

以现在的观点来看,这个式子肯定是不正确的,z是复数,z的平方也为复数,取二次方根,必有二值。

之前的迷惑就在于这个根号是复数域的根号,还是实数域的算数根号,显然,他应该是复数根号。因为存在虚数,其平方仍为虚数,如果是算数根,则运算无定义。

对于这几个式子,

第一个不对,原因同上

第二个有歧义,认为在实数域与复数域中都可以,有两种解释,实数域中算数根,则式子成立,复数域中二次根式,则不成立。

第三个,本质等价于第二个式子,解释同第二个。

启示

符号要避免滥用,确保其解释的唯一性。上面产生的歧义,就在于实数域算数根与复数域二次方根的记号一模一样,导致了混乱。

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