习题整理

习题内容均为《期货、期权及其他衍生品》约翰赫尔第十版课后题。在习题之前会注明每道题的重点。

第一章

理解投资股票与投资期权的异同，注意观察投资期权存在的“杠杆”！
假设你希望利用某股票价格将要上涨进行投机。股票当前价格为29美元，而3个月期限、执行价格为30美元的看涨期权价格为2.9美元。你一共有5800美元的资金。试分析两种投资方式：投资股票和投资期权。
①投资股票：买入200股股票，假设到期股价为 $x$ ，那么收益为 $200(x-29)$ 美元。
②投资期货：买入2000份看涨期权，假设到期股价为 $x$ ，那么收益为 $max\{2000(x-30),0 \} - 5800 = max\{2000(x - 32.9),-5800 \}$ 可以看出在这个例子中，利用期权进行投资 $x$ 前的系数会成为原来的十倍，这个例子说明了期权交易的杠杆作用。
交易组合
描述以下交易组合的盈利情况：某资产的远期合约多头和同一资产的与远期合约有相同期限的欧式看跌期权多头的组合，其中执行价格等于在建立交易组合时资产的远期价格。
解答：根据条件 $F_0 = K$
①远期合约多头到期的盈利为 $S_T - F_0$ .
②看跌期权多头到期盈利为 $max \{ F_0 - S_T ,0\} -p$
③从而组合到期盈利为两种之和 $max\{ 0, S_T - F_0 \} - p$ ,用图像来描述如下。

收益图像

通过这个例子，我们发现可以使用远期合约和看跌期权来构造“看涨期权”，类似的例子还有很多。
观察市场上的套利机会
当前黄金市价为每盎司1000美元，一年期远期合约的远期价格为1200美元，某套利者能够以每年10%的利息借入资金，该套利者应该如何做才能达到套利目的？
解答：我们只需要牢记套利的核心——“低买高卖。”
1000美元的黄金使用远期合约收益为20%,而借入的利息只有10%。那么套利方式以及很明显了。
只需要以10%的利息借入资金。以1000美元每盎司的价格买入黄金，并通过远期合约在1年后能够以1200美元卖出。
那么套利者收益为 $黄金远期合约收益 - 利息 =20\% - 10\% =10 \%.$

第二章

期货和远期合约的对比
交易员A进入3个月期以140万美元兑换100万欧元的期货多头；交易员B进入相应远期的多头。假设汇率(美元/欧元)在前两个月急剧下跌，然后在第三个月回升到1.43美元/欧元。每位交易员的总盈利是多少？如果考虑到每日结算，哪个交易更好一些？
①两个交易员的收益相同，均为 $(1.43-1.4\times 1000000) = 30000$ 美元。
②仅从这笔交易来看，B的收益是3个月到期结算；而A则需要在前2个月汇率急剧下跌时补交保证金。B做的更好一些。

第四章

债券价格的计算
一个年收益率为11%（连续复利）的5年期债券在每年年底支付8%的票息。
①此债券价格为多少？
$B = 8e^{-0.11} + 8e^{-0.11\times 2} + 8e^{-0.11\times 3} + 8e^{-0.11\times4} + 108e^{-0.11\times 5} = 86.8$
②债券久期为多少？
$Dur =[8e^{-0.11} +2\times 8e^{-0.11\times 2} + 3\times 8e^{-0.11\times 3} + 4\times 8e^{-0.11\times4} + 5\times 108e^{-0.11\times 5}]/86.8 =4.256 年$
③运用久期公式说明来说明幅度为0.2%的收益率下降对债券价格的影响。
$\Delta B = -BD\Delta y = -86.8 \times 4.256\times(-0.002) = 0.74$
债券价格为 $86.8+0.74 = 87.42$
④重新计算年收益率为 $10.8\%$ 时债券的价格。验证结果与③的一致性。
$B = 8e^{-0.108} + 8e^{-0.108\times 2} + 8e^{-0.108\times 3} + 8e^{-0.108\times4} + 108e^{-0.108\times 5} = 87.42$
复利方式的计算
对一个年息5%，按半年复利的利率，在以下复利形式下所对应的利率为多少？
①按年复利
$(1 + \frac{5\%}{2})^2 = 1 + x$ 解得 $x = 5.0625 \%$ .
②按月复利
$1 + \frac{5 \%}{2} = (1 + \frac{y}{12})^6$ 解得 $y = 4.949\%$
③连续复利
$e^{z} = (1+ \frac{5\%}{2})^2$ 解得 $z = 2ln(1 + \frac{5\%}{2}) = 4.939\%$
很容易观察到：复利频率越高，计算出的利率越低。
远期利率的计算
6个月，12个月，18个月和24个月期限的零息利率分别为4%，4.5%，4.75%和5%，这里的利率为每半年复利一次。
① 相应的连续复利利率为多少？
假设半年复利的利率为 $r$ ,连续复利为 $R$ ,于是 $e^R = (1 + \frac{r}{2})^2$ 进而 $R = 2 ln(1 + \frac{r}{2})$ ,代入数值可计算出相应的连续复利利率。
6个月: $r_6 = 2ln(1 .02) = 3.961\%$
12个月： $r_{12} = 2ln(1.0225) = 4.4501\%$
18个月： $r_{18} = 2ln(1.02375) = 4.6945\%$
24个月： $r_{24}=2ln(1.025) = 4.9385\%$
②在18个月开始的6个月的远期利率是多少？
先由①中计算出的连续复利的结果，连续复利的远期利率为： $r_F = \frac{r_{24}\times2 - r_{18}\times1.5}{0.5}= 5.6707 \%$ 再将其转化为连续按半年复利 $r_F'=2(e^{r_F/2 } - 1) = 5.7518\%$

第五章

远期价格
在签署一个1年期的，对无股息股票的远期合约时，其股票当前价格为40美元。连续复利的无风险利率为每年10%。
①远期合约的初始价值和远期价格分别为多少？
远期价格：远期价格为 $F_0 = 40e^{0.1} = 44.206$
而远期合约的初始价值为0.
②6个月后，股票价格变为45美元，无风险利率仍为每年10%。这时候远期价格和远期合约的价值分别是多少？
远期价格： $F_1 = 45e^{0.1/2} = 47.306$
此时合约的价值为 $f = 45 - 40e^{0.1/2} = 2.949$

第七章

利率互换
根据某个利率互换的条款，一家金融公司同意支付每年10%，同时收入LIBOR，互换本金为1亿美元，每3个月支付一次，这一互换还有14个月的剩余期限。对于所有期限，与3个月LIBOR进行互换的固定互换利率为每年12%，1个月以前的LIBOR利率为每年11.8%。所有的利率均为每季度复利一次，该互换的价值为多少？
①我们先计算贴现率： $(1 + 12\%/4)^4 = e^R$ 解得 $R = 11.82\%$
②我们将支付部分当成固定利率债券，收入部分当成浮动利率债券。
固定利率债券价格为 $S_1 = 2.5e^{-11.82\%\times\frac{2}{12}} + 2.5e^{-11.82\%\times\frac{5}{12}} +2.5e^{-11.82\%\times\frac{8}{12}} +2.5e^{-11.82\%\times\frac{11}{12}}+ 102.5e^{-11.82\%\times\frac{14}{12}} = 98.68$
浮动利率债券在2个月时价格为
$S_2' = 100 + 100e^{11.8\% /4}$
现值为 $S_2 = 102.95e^{-11.82\%\times \frac{2}{12}} = 100.94$
所以以100美元为互换的价格为 $100.94 - 98.68 = 2.26$
而本金为1亿美金，该互换价格为 $2.26$ 百万美元。

第十三章

二叉树
股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票可能会上涨或者下跌10%，无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为100美元、一年期的欧式看涨期权价格是多少？
解答：在本题中： $u = 1.1,d = 0.9,r = 0.08,\Delta t = 0.5$
则 $p = \frac{e^{r\Delta t} -d}{u-d}\approx 0.7041$
股票价格变动如图所示：

二叉树

注意 $\Delta t$ 是6个月，但是期限是一年，所以需要用两步二叉树来做。
验证平价关系式
在和上个问题相同的条件下：1年期看跌期权的价格是多少
同样用二叉树来计算：

看跌期权二叉树

由此题目和上一个题目的结果很容易验证期权的平价关系式。
波动率
由波动率计算 $u$ 和 $d$ 的公式是什么？
解答： $u = e^{\delta \sqrt{\Delta t}}$ 和 $d = e^{\delta \sqrt{\Delta t}}$
美式期权的二叉树
美式期权与欧式期权最大的区别是可以提前执行。我们看下面这个例子：
股票的价格为40美元，在今后6个月中每一个3个月的时间内，股票，股票上涨或下跌10%，无风险利率为每年12%.
①执行价格为42美元，6个月期限的欧式看跌期权价值是多少？
②执行价格为42美元，6个月期限的美式看跌期权价值是多少？

画出两种情况下的二叉树。

二叉树

图中第二行为欧式期权的价格，第三行为美式期权的价格。可以看出，美式期权的价格总是高于欧式期权，因为其可以提前执行，说明多了一种选择，而这种选择是有价值的。

第十四章

计算预期股票价格及参数
假定股票的期望收益率为每年16%，波动率为每年30%。当股票价格在某一天末的价格为50美元时，计算：
①在下一天股票价格的期望值。
因为 $dS = uSdt + \sigma Sdz$
所以 $dS = 0.16 \times 50 \times \frac{1}{365} + 0.3\times 50 \times \epsilon \sqrt{\frac{1}{365}}$
因此 $E(S) = S +E(dS)=50.022$
②在下一天股票价格的标准差。
$标准差 = \sqrt{Var(S)} = \sigma S \sqrt{dt} = 0.785$
③在下一天股票价格的95%的置信区间。
答案为 $[50.22 - 1.96\times 0.785,50.22 + 1.96\times0.785] = [48.48,51.56]$

第十五章

注意观察长期股票价格确定和短期的不同
某股票的当前价格为50美元。假定股票的期望收益率为18%，波动率为30%，在两年后股票价格的概率分布是什么？计算分布的期望与标准差，并确定95%的置信区间。
注意：这个题目做法和十四章完全不同，因为 $dS = uSdt + \sigma Sdz$ 直接计算仅适用于 $dt$ 非常小的情况，因此这里显然不适用。
变换后得到 $\frac{dS}{S} = udt +\sigma dz$ 得到股票价格的对数正态性质 $lnS_T\sim\phi[lnS_0 + (u -\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma^2T]$ .
代入数值后得到： $lnS_T \sim \phi(4.18,0.42^2)$
于是股票价格的期望 $E(S) = 50 e^{2\times 0.18 }\approx 71.67美元$
股票价格的标准差 $50e^{2\times 0.18}\sqrt{e^{0.09\times 2} -1}\sim 31.83$
先计算 $lnS_T$ 的置信区间为： $[3.35,5.01]$
股票价格 $S_T$ 在95%置信度的置信区间是： $[e^{3.35},e^{5.01}]$

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