数字推理总结

思路：1.看是否明显的倍数关系
      2.看是否有明显的幂次规律
      3.考虑递推
      4.没有就做差（最多做3次），看差值是否有规律
      5.考虑多重数列
      6.考虑因式分解
      7.位数运算
        （个位 + 十位 + 百位 = 固定值）
        （个位+十位 的和呈现等差，等比规律）
      8.递推结合多重和倍数规律：
        特征：增长速度突然加快，找不到明显的倍数关系（递推例题4）

常见的基础数列

(1)质数数列

2，3，5，7，11，13，17，19，23

(2)和数数列

4，6，8，9，10，12，14，15，16

(3)幂次数列

$1^2$	$2^2$	$3^2$	$4^2$	$5^2$	$6^2$	$7^2$	$8^2$	$9^2$	$10^2$
1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

$11^2$	$12^2$	$13^2$	$14^2$	$15^2$	$16^2$	$17^2$	$18^2$	$19^2$	$20^2$
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

$1^3$	$2^3$	$3^3$	$4^3$	$5^3$	$6^3$	$7^3$
1	8	27	64	125	216	343

(4)常见的幂次联想
$\qquad 8 = 2 ^ 3 = 3 ^ 2 - 1$
$\qquad 9 = 3 ^ 2 = 2 ^ 3 +1$
$\qquad 16 = 2 ^ 4 = 4 ^ 2$
$\qquad 25 = 5 ^2$
$\qquad 27 = 3 ^ 3$
$\qquad 32 = 2 ^ 5 = 3 ^ 3 +5 = 6^2-4$
$\qquad 36 = 6 ^ 2 = 2 ^ 5 +4$
$\qquad 81 = 9 ^ 2 = 3 ^ 4$
$\qquad 125 = 5 ^ 3$
$\qquad 216 = 6 ^ 3$
$\qquad 225 = 15 ^ 2$
$\qquad 256 = 16 ^ 2 = 4 ^4$
$\qquad 289 = 17 ^ 2$
$\qquad 324 = 18 ^ 2$
$\qquad 625 = 25 ^ 2 = 5 ^ 4 +1$

一、倍数

1.特征：

有明显的倍数关系

2.解题思路:

(1)同乘n倍

a.常见乘1.5倍

8 , 12 , 18 , 27  
6 , 24 , 36 , 54 , 81   
32 , 48 , 72 , 108 , 162 , 243  
64 , 96 , 144 , 216 , 324 , 486  
2 , 3  
4 , 6  
8 , 13  
16 , 24  
32 , 48  
54 , 81  
64 , 96

(2)同乘递增数列

常见递增数列
2 , 3 , 4 , 5   
-1.5 , -0.5 , 0.5 , 1.5  
-5 , -2 , 1 , 4

(3)同乘质数数列

2，3，5，7，11，13，17，19

例题

(1)-1.6,-4,-6,-3,1.5,()

分析：没有明显的递增递减趋势，有明显的倍数关系  
-4/-1.6=2.5  
-6/-4=1.5
-3/-6 = 0.5
-1.5/3 = -0.5

(2)1，3，9，27，81,()

分析：明显的倍数关系
1 * 3 =3
3 * 3 = 9
9 * 3 = 27

(3)-8,12,-6,-3,-4.5,-11.25

分析：
12/-8 = -1.5
-6/12 = -0.5
-3/-6 = 0.5
-4.5/-3 =1.5

(4)2,6,24,120,720

分析：明显倍数关系
6/2 = 3
24/6 =4
120/720 = 6

(5)2,2,6,30,210

分析：明显倍数关系
2/2 = 1
6/2 = 3
30/6= 5
210/30 = 7

(6) $\frac 1 3 , \frac 1 3 , 1 , 5 , 35$
$\qquad \frac 1 3 , \frac 1 3\\ \qquad 考虑 \times 1\\ \qquad \frac 1 3 \times 1 = \frac 1 3\\ \qquad \frac 1 3 \times 3 = 1\\ \qquad \frac 1 \times 5 = 5\\ \qquad \frac 5 \times 7 =35\\ \qquad 1 , 3 , 5 , 7 , 11 等差数列 d = 2$

二、差值

1.特征

递增或者递减，递增递减的趋势缓慢

2.解题思路

差是常数
- 2.5 , 5 , 5.5 ,8
- -3 , -1 , 1 , 3
差是等差数列
- 5 , 15 , 30 , 50 , 75
差是等比数列
- 5,7,11,19,35

3.例题

(1) 1 , 2.5 , 10 , 55 , 385

分析：有倍数关系
    2.5 * 4 = 10
尝试：
    1   * 2.5 = 2.5
    2.5 * 4   = 10
    10  * 5.5  = 55
规律（+1.5）：
    2.5 , 4, 5.5，7
验证：
    55 * 7 = 385

(2) 5 , 15 , 30 , 50 , 75

规律一：
    分析：有倍数关系
        15/5 = 3
        30/15 =2
        50/30 = 5/3
        75/50 = 3/2
    转化为分数找规律：约分，通分
    看到5/3 猜测  
        /1 /2 /3 /4
    推出：
        3/1 4/2 5/3 6/4 7/5
    即75 *  7/5 = 15 * 7 = 105
规律二
    没有发现规律1:考虑做差得：
        10，15，20，25，30
    推出：
        75 + 30 = 105

(3) 4 , 9 , 16 , 27 , 46 , 81

分析：倍数关系位置没有规律
考虑做差：
    5，7，11，19，35
没有明显规律再做差
    2，4，8，16，32
推出：
    35 + 32 = 67
    5，7，11，19，35，67
    81 + 67 = 148
    4，9，16，27，46，81，148

三、递推

1.特征

2.解题思路

递推数列结合幂次规律
- 特征：有明显的幂次特征，单独看没有发现规律
递推结合多重和倍数规律：
- 特征：增长速度突然加快，找不到明显的倍数关系

3.例题

(1) 1,2,3,5,8,13
(2) 1,1,4,9,25
$分析：有明确的幂次规律\\ \quad 1^2 , 1^2 , 2^2 , 3^2 , 5^2\\ \quad 1 1 2 3 5\\ \quad 同例题(1)$
(3) 1,2,3,10,39

分析：
1.10 到39 增长太快 考虑幂次和倍数
    没有发现幂次和倍数规律
2.找特征
    39 = 13 * 3
    13 = 10 + 3
 尝试：
    （1 + 2）* 1 = 3
    （2 + 3） * 2 = 10
    （3 + 10） * 3 = 39

四、分数推理思路

1.解题思路

通分约分
分子一个规律，分母一个规律
递推
- 特征：有明显倍数关系
  - a * b = c
  - a * n = b (n可能是一个等差/等比数列)
  - 分子+或-分母分子*或/分母

2.例题

(1) 17 , 8 , 5 , 7/2 , 13/5

分析：
    有分数，无法约分。分子分母没有单独的规律，考虑等比例放大找规律
特征：
    13/5 /4 /3 /2 /1
尝试：
    17/1 ，16/2，15/3，14/4，13/5
推出：
    分子-1，分母+1

(2) 64/81 , 81/4 , 4 , 9 , 6

分析：
    有明显相同的数字，有分数，考虑想乘
尝试：
    16，81，36  =》 4，9，6
    64/81 * 81/4 = 16
    81/4 * 4 = 81
    4 * 9 = 36
推出：
    9 * 6 开根号

$(3).\quad\sqrt 3 \quad, 1 \quad,\frac {3\sqrt3}{7} \quad,\frac 3 5 \quad,\frac {9 \sqrt 3} {31}$

$分析：\\ \quad \sqrt 3 , 3 \sqrt 3,9\sqrt 3 \\ \quad 有三倍的关系，中间跳了1个，推出是\sqrt 3倍的等比数列\\ 推出:\\ \quad \frac {\sqrt 3}{1},\frac 3 3,\frac{3\sqrt3}{7},\frac 9 {15},\frac{9 \sqrt 3} {31}\\ 分母规律：\\ \quad 1,3,7,15,31 =>(a * 2 + 1)$

(4) $\frac 1 4,\frac 1 2,\frac 3 2,6,30$

分析：6 30 有倍数关系
    考虑1. 递推 a b 推 c
    考虑2. a * n 
尝试发现：
   规律是 * 2 * 3 * 4 * 5

(5) $\frac 2 5,\frac 3 {10} ,\frac 7 {30},\frac {23} {210}$

分析：
1.有明显倍数关系，考虑递推
      没有发现规律
2.分子分母分开看
     没有发现明显规律
3.考虑通分 都化为分母210
    没有发现明显规律
4.分子分母结合看
  5 - 2 = 3
  5 * 2 = 10
  10 -3 = 7
  10 * 3 =30
  30 -7 =12
  30 * 7 = 21

五、小数点推理思路

1.解题思路

小数点前一个规律，小数点后一个规律
a.b a和b之间有规律如 a/b = 2 b*2 +1 = a
两位小数4.27 （4 = 2 * 7 的尾数）
就看做一个小数做差 20.9 - 12.7

2.例题

(1) 2.1 , 5.2 , 8.4 , 11.8 , 14.16

分析：
    小数点，考虑前后
尝试：
    小数点后：1，2，4，8，16  （*2）
    小数点前：2，5，8，11，14 （+3）

(2) 4.2 , 5.2 , 8.4 , 17.8 , 44.22

分析：4.2 ， 8.4 ，44.22 明显的倍数关系
再看：5.2 ， 17.8 
      2 * 2 + 1 = 5
      8 * 2 + 1 = 16
找答案中有该规律的选项

(3) 9.19 , 4.27 , 5.35 , 2.43

分析：
小数点后：
  19 27 35 43  （+8）
小数点前：
    9 = 1 * 9
    4 = 2 * 7的尾数
    2 = 4 * 3 的尾数

(4) 12.7 , 20.9 ,31.1,43.3

分析：
1.小数点前后分开看
    单独没有规律
    递推也没有规律
2. 31.1 ， 43.3 太规律了，看着就想减
    43.3 - 31.1 = 12.2
    31.1 - 20.9 = 10.2
    20.9 - 12.7 = 8.2

六、根号推理思路

1.解题思路

根号内一个规律

$\sqrt9,\sqrt 16,\sqrt25,\sqrt36$
$\sqrt9,2\sqrt4,\sqrt25$
递推

$3-2\sqrt2,\sqrt2 -1,1,1+\sqrt2$
$(3-2\sqrt2) + 2 \times(\sqrt 2 -1) = 1$
$\sqrt 2 -1 + 2 \times 1 = 1 + \sqrt 2$

2.例题

(1) $2,3,4,3\sqrt 3,\sqrt 46$
$分析：考虑倍数关系无法找到规律\\ 考虑都化为根号，查看内部数字规律\\ \sqrt 4,\sqrt 9,\sqrt 16,\sqrt 27,\sqrt 46\\ 4,9,16,27,46\\ 做差\\ 5，7，11，19\\ 看差值例题（3）\\ 差值是个等比数列 2 4 8 16 32$
(2) $\sqrt 2,3-\sqrt2,2,3,4+\sqrt2$
$\quad 分析：\\ \qquad 没有明显倍数关系\\ \qquad考虑做差，做和，递推\\ \quad 尝试做和和递推,没有明显规律:\\ \qquad 3,5-\sqrt2,5,7+\sqrt2\\ \quad 尝试做差:\\ \qquad 3-2\sqrt2,\sqrt2 -1,1,1+\sqrt2\\ \quad \sqrt2 -1 到 1，无法通过乘除，所以考虑加减 \qquad 考虑递推得到\\ \qquad a + b * 2 =c$

七、特殊类

1.解题思路

因式分解
多重数列（基数位一个规律，偶数位一个规律）一般数列比较长，7位往上
位数运算
- （个位 + 十位 + 百位 = 固定值）
  三位数组合比较多，考虑加和等于固定值
- （个位+十位的和呈现等差，等比规律）
  二位数加和等于固定值组合教少，考虑等比等差规律
  连位数
  *幂次修正对常见幂次数列敏感

2.例题

(1) 2，6，15，28，55

分析：
1 * 2 = 2
2 * 3 = 6
3 * 5 = 15
4 * 7 = 28
5 * 11= 55
尝试：
2 3 5 7 11
质数数列
2 3 5 7 11 13
得到
6 * 13 = 78

(2) 23 , 14 , 37 , 55 , 78

分析：没有基础规律，考虑特殊规律
    2 + 3 = 5
    1 + 4 = 5
    3 + 7 = 10
    5 + 5 = 10
    7 + 8 = 15
推出：结合答案，看满足上诉规律的选项

(3) 389 , 569 , 479 , 587 , 299

分析：三位数优先考虑位数运算，
    3 + 8 + 9 = 20
    2 + 9 + 9 = 20

(4) 1 2 5 26

分析：5 到 26 增值太快，明显是乘，不可能是加减
      但没有明显的倍数关系
      考虑幂次

$1 ^2 + 1 = 2\\ 2 ^ 2 + 1 =5\\ 5 ^ 2 + 1 =2 6$

嵌套规律

解题思路

1.做差嵌套递推
2.做差嵌套等差/等比
3.做差嵌套幂次
4.做差嵌套..
5.小数点嵌套乘积

例题

(1) 0 , 6 , 24 , 60 , 120

分析：有明显倍数关系
    6 * 4 =24
    60 * 2 = 120
但是， 0 到 6 明显不是倍数关系
也没有递推，多重的特征考虑做差得
    6 ，18，36，60
有明显倍数关系
    1 * 6 = 6
    3 * 6 =18
    6 * 6 = 36
    10 * 6 = 60
1  3  6  10   15
    +2 +3 +4   +5
反推
    15 * 6 = 90
    90 + 120 = 210


解法二
因式分解（难想）
 0 * 1   2 * 3，4 * 6，6*10，8 * 15
乘号前
  0， 2，4， 6，8, 10
乘号后
   1， 3， 6， 10   15   21
    +2   +3  +4   +5  +6
下一位
  10 * 21 = 210
 
解法三：幂次修正
  0  6 24    60     120
             64     125
          4三次方   5三次方  
  1 8  27
  -1 -2 -3   -4      -5    
                              6的三次方-6=216-6

最后编辑于：2022.08.24 23:18:45

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数字推理总结

数字推理总结

常见的基础数列

一、倍数

1.特征：

2.解题思路:

(1)同乘n倍

a.常见乘1.5倍

(2)同乘递增数列

(3)同乘质数数列

例题

二、差值

1.特征

2.解题思路

3.例题

三、递推

1.特征

2.解题思路

3.例题

四、分数推理思路

1.解题思路

2.例题

五、小数点推理思路

1.解题思路

2.例题

六、根号推理思路

1.解题思路

2.例题

七、特殊类

1.解题思路

2.例题

嵌套规律

解题思路

例题

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