线性代数笔记

第1章线性代数中的线性方程组

1.1线性方程组

本文仅对部分习题进行解答，其余的习题解法大同小异。

习题1.1

解方程组：

$\left\{ \begin{aligned} x_2+4x_3=-5\\ x_1+3x_2+5x_3=-2\\ 3x_1+7x_2+7x_3=6 \end{aligned} \right.$

解答

先导入linear_algebra模块,通过transform_matrix函数对增广矩阵进行初等变换。

import numpy as np
from linear_algebra import *
a=np.array([[0,1,4,-5],[1,3,5,-2],[3,7,7,6]]);a

array([[ 0,  1,  4, -5],
       [ 1,  3,  5, -2],
       [ 3,  7,  7,  6]])

b=transform_matrix(a,-2,0,1,1);b

array([[ 1.,  3.,  5., -2.],
       [ 0.,  1.,  4., -5.],
       [ 3.,  7.,  7.,  6.]])

c=transform_matrix(b,-3,0,2,-3);c

array([[ 1.,  3.,  5., -2.],
       [ 0.,  1.,  4., -5.],
       [ 0., -2., -8., 12.]])

d=transform_matrix(c,-3,1,2,2);d

array([[ 1.,  3.,  5., -2.],
       [ 0.,  1.,  4., -5.],
       [ 0.,  0.,  0.,  2.]])

看最后一行，方程0=2是 $0x_1+0x_2+0x_3=2$ 的简写.这个三角形线性方程组显然是矛盾的，所以满足线性方程组的未知数 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ 是不存在的，线性方程组是不相容的。 □

12.
$\left\{ \begin{aligned} x_1-3x_2+4x_3=-4\\ 3x_1-7x_2+7x_3=-8\\ -4x_1+6x_2-1x_3=7 \end{aligned} \right.$

a=np.array([[1,-3,4,-4],[3,-7,7,-8],[-4,6,-1,7]]);a

array([[ 1, -3,  4, -4],
       [ 3, -7,  7, -8],
       [-4,  6, -1,  7]])

b=transform_matrix(a,-3,0,1,-3);b

array([[ 1., -3.,  4., -4.],
       [ 0.,  2., -5.,  4.],
       [-4.,  6., -1.,  7.]])

c=transform_matrix(b,-3,0,2,4);c

array([[ 1., -3.,  4., -4.],
       [ 0.,  2., -5.,  4.],
       [ 0., -6., 15., -9.]])

d=transform_matrix(c,-3,1,2,3);d

array([[ 1., -3.,  4., -4.],
       [ 0.,  2., -5.,  4.],
       [ 0.,  0.,  0.,  3.]])

同上，通过最后一行可以看出，该方程组不相容。

$\left\{ \begin{aligned} x_1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-3x_3=8\\ 2x_1+2x_2+9x_3=7\\ x_2+5x_3=-2 \end{aligned} \right.$

a=np.array([[1,0,-3,8],[2,2,9,7],[0,1,5,-2]]);a

array([[ 1,  0, -3,  8],
       [ 2,  2,  9,  7],
       [ 0,  1,  5, -2]])

b=transform_matrix(a,-3,0,1,-2);b

array([[ 1.,  0., -3.,  8.],
       [ 0.,  2., 15., -9.],
       [ 0.,  1.,  5., -2.]])

c=transform_matrix(b,-3,1,2,-0.5);c

array([[ 1. ,  0. , -3. ,  8. ],
       [ 0. ,  2. , 15. , -9. ],
       [ 0. ,  0. , -2.5,  2.5]])

d=transform_matrix(c,-1,2,0,-1/2.5);d

array([[ 1.,  0., -3.,  8.],
       [ 0.,  2., 15., -9.],
       [ 0.,  0.,  1., -1.]])

e=transform_matrix(d,-3,2,1,-15);e

array([[ 1.,  0., -3.,  8.],
       [ 0.,  2.,  0.,  6.],
       [ 0.,  0.,  1., -1.]])

f=transform_matrix(e,-1,1,0,0.5);f

array([[ 1.,  0., -3.,  8.],
       [ 0.,  1.,  0.,  3.],
       [ 0.,  0.,  1., -1.]])

g=transform_matrix(f,-3,2,0,3);g

array([[ 1.,  0.,  0.,  5.],
       [ 0.,  1.,  0.,  3.],
       [ 0.,  0.,  1., -1.]])

print("x1=",g[0,3],"\nx2=",g[1,3],"\nx3=",g[2,3])

x1= 5.0 
x2= 3.0 
x3= -1.0

经代入方程组验证，以上是方程组的解 □

$\left\{ \begin{aligned} x_1-3x_2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =5\\ -x_1+x_2+5x_3=2\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +x_2+x_3=0 \end{aligned} \right.$

a=np.array([[1,-3,0,5],[-1,1,5,2],[0,1,1,0]]);a

array([[ 1, -3,  0,  5],
       [-1,  1,  5,  2],
       [ 0,  1,  1,  0]])

b=transform_matrix(a,-3,0,1,1);b

array([[ 1., -3.,  0.,  5.],
       [ 0., -2.,  5.,  7.],
       [ 0.,  1.,  1.,  0.]])

c=transform_matrix(b,-3,1,2,0.5);c

array([[ 1. , -3. ,  0. ,  5. ],
       [ 0. , -2. ,  5. ,  7. ],
       [ 0. ,  0. ,  3.5,  3.5]])

d=transform_matrix(c,-1,2,0,1/3.5);d

array([[ 1., -3.,  0.,  5.],
       [ 0., -2.,  5.,  7.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.]])

e=transform_matrix(d,-3,2,1,-5);e

array([[ 1., -3.,  0.,  5.],
       [ 0., -2.,  0.,  2.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.]])

f=transform_matrix(e,-1,1,0,-0.5);f

array([[ 1., -3.,  0.,  5.],
       [ 0.,  1.,  0., -1.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.]])

g=transform_matrix(f,-3,1,0,3);g

array([[ 1.,  0.,  0.,  2.],
       [ 0.,  1.,  0., -1.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.]])

print("x1=",g[0,3],"\nx2=",g[1,3],"\nx3=",g[2,3])

x1= 2.0 
x2= -1.0 
x3= 1.0

验证过程略。