假设
和
是给定的正的常数，然后定义一个函数)
。这个函数的定义如下：
%20%3D%201%20-%20%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BQ%7D%7Br%5E4%7D%20-%20r%5E2%2C%20%5Cquad%20r%20%3E%200)
。
如果
有三个不同的正根 
，证明 %20%2B%20f'(r_-)%20%3C%200)
。
其中，)
是函数 的导数。
证：
为了证明%20%2B%20f'(r_%7B-%7D)%20%3C%200)
，我们可以按照以下步骤进行:
1.明确函数定义:
给定的函数为%3D1-%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7BQ%7D%7Br%5E%7B4%7D%7D-r%5E%7B2%7D)
，其中和是正的常数。
2.计算导数:
求导得到%3D%5Cfrac%7B2M%7D%7Br%5E%7B3%7D%7D-%5Cfrac%7B4Q%7D%7Br%5E%7B5%7D%7D-2r)
。
3.利用函数根的性质:
由于
和
是的两个不同的正根，即%3Df(r_%7B-%7D)%3D0)
。这意味着在和处，函数值均为零。
4.分析导数符号:
我们需要分析)
和)
的符号。由于在和处取得极值(因为它们是根)，所以和必须异号。但由于题目要求证明它们的和小于零，我们需要进一步分析。
5.利用函数图像和性质：
由于是一个四次函数（虽然看起来复杂，但我们可以将其视为关于
的二次函数加上常数项进行调整），其图像可能具有多个拐点。然而，由于M和Q是正数，且r是正数，我们可以推断出在某些区间内，函数的增减性。
6.结合具体条件进行推导：
由于
，我们可以假设在(0,)区间内，函数是递增的（即%3E0)
)，而在(,)区间内，函数可能是递减的（即%3C0)
)，并且在(,+∞)区间内再次递增（但这部分对于证明当前问题不是必需的）。
7.得出结论:
由于)
和 )
异号，且我们假设在处函数由递增变为递减(即从正变为负)，而在处函数继续递减(即%3C0))
，因此可以推断出%2Bf%5E%7B%5Cprime%7D(r_%7B-%7D)%3C0)
。
注意:上述推导中的假设部分(特别是在)
和 )
区间的增减性)需要更严格的数学证明来支持。这里的解释是为了提供一个直观的思路。在实际证明中，可能需要利用更高级的微积分技巧或数值方法来验证这些假设。
另外，值得注意的是，虽然题目中提到的是一个四次函数，但通过适当的变量替换(如令)
，我们可以将其转化为一个关于
的二次函数加上常数项的形式，这可能有助干简化分析和证明过程。
