圆是一个非常有意思的图形，不用说，大多数人肯定都是这样认为的，毕竟圆这个图形实在是太特殊了，如果把所有图形放在一起，对比长方形，正方形，三角形甚至更多图形，一般一眼就能先看见圆（有种一见钟情的感觉）。

                  一  圆的定义

      第一眼看过去，圆最明显的与其他图形的区别就是：没有角，且只有一条曲边构成。看，这就是属于圆最明显的特征，但其实圆还有一个更神秘的特性，仔细观察三角形，正方形，长方形的对称轴数量，可以发现它们都是有固定数量的。但是圆呢？发现了什么？圆是有无数条对称轴的，而且圆是一个中心对称图形，因为把圆对折后再翻转一百八十度的图形，和圆最开始的图形是完全重合的。那么，到底什么是圆呢？或者说用专业的术语来说，圆的定义是什么呢？因为圆自身带有的特殊性，所以圆有动态定义和静态定义。它的动态定义我们可以通过圆规画圆的方式来推断。

      我们可以发现，在我们用圆规画圆的时候，圆规的两脚之间，就是一个固定的长度，绕着其中的一个角旋转一圈，就画出了一个圆。由此，我们可以发现，一条线段绕着它的其中的一个端点旋转一周，另一个端点的轨迹就形成了圆。这是圆的动态定义，那么从中我们可以推断出圆的静态定义。因为圆规两脚之间的距离一直都是相等的，所以从旋转中心也就是圆规的一角到任意的一个顶点都是相等的，也就是说圆是有定点和定长的，这就是圆的静态定义。我们可以一下子发现圆和其他图形的不同之处在哪里就是因为圆特殊的特性。

    但是定点和定长到底是什么东西呢？圆规的旋转中心和圆规两脚之间的距离又到底是什么东西呢？实际上，这就是我们常说的圆心和半径。但是我们如何确定圆心、半径、直径在圆形纸片上的位置呢？我们最直接想到的方法，一定就是把圆形纸片对折，展开，换一个方向，再对折，打开之后两条线的相交点就是圆心，而对折的痕迹就是直径，而痕迹的一半就是半径。但是如果是一个硬币或者一个比较硬的东西，我们不能让它折叠，又如何确定呢？我们可以在这个圆的外面画上一个最小的正方形，画出这个正方形的两条对角线，而正方形的两条对角线相交的地方就是圆心，其中一条对角线就是直径，而对角线的一半就是半径。

      那么我们可以怎样精准地描述出半径、直径、圆心呢？首先画一个圆，我们可以从图上看出它们的确定位置，因为我们已经找到了如何确定它们的位置的方法，所以定义它们就可以直接描述。半径就是连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母“r”表示；直径就是通过圆心且两端都在圆上的线段，通常用字母“d”表示；圆心就是任意两条直径的交点，通常用字母“o”表示，这就是圆最基础的认识。

                  二    圆的周长

      我们知道，虽然说圆和其他的图形有很多不同的地方，但是圆和其他图形一样，都是平面图形，而平面图形就有属于它的周长和面积，那么圆的周长是如何计算呢？它明明只是一条曲边，没有角，我们怎么可以算出“一个端点”到“另一个端点”长度呢？我们需要先知道圆的周长和什么相关。通过用圆规画圆的方式，我们知道了圆规两脚之间的叫做半径，而绕着半径，其中的一个点旋转一周就是圆，所以圆的周长一定是和半径、直径相关的。那么，他们之间具体有些什么关系呢？我们可以从哪里看出来呢？首先我们要先进行思考，两倍的圆的直径和圆的周长相比，谁大谁小？通过画图，我们可以得知圆的周长大于直径的2倍。那么，难道圆的周长可以无限的大于直径的2倍吗？它的下限是直径的2倍，那么它的上限呢？以圆的直径为边长，画一个正方形，正方形是可以框住圆的，而正方形的周长要比圆大。那么通过画图，我们可以发现，圆的直径的4倍和圆的周长相比，圆的直径的4倍要大于圆的周长。所以我们可以发现，2d＜C＜4d。

    有了这样的范围，我们可以进行一个大胆的猜测，也许圆的周长等于π倍的直径吗？有了这样的猜想，我们就要想办法证明。我们如何能够测量出圆的周长呢？首先我们要准备一条棉线，因为我们需要用这条棉线来围绕着圆的一圈，（进行测量圆的周长），还需要准备一个圆规，（用来画圆），还有一个直尺，（量棉线绕过圆之后有多长）。实验过程：给定圆的半径用圆规给定的固定半径画圆，用棉线测量圆的周长多长，重复上述过程，就可以发现规律，而这个方法就叫做化曲为直。我们可以发现，不同半径，不同大小的圆，周长除以直径得出的数，竟然都是差不多的，而且都在3.14左右，那么有没有一种可能：圆的周长就等于3.14倍的直径呢？毕竟这种方法是有缺陷的，因为在测量的过程中，难免会产生误差。那么排除误差，我们就可以解决这个问题吗？毕竟我们肯定不满足于这样一个范围很大，不精准的数字，我们是要求得它的最终或者说最精准的答案。

    我们可以进行一个实验，来证明我们的猜想的最终精确答案是多少。把一个圆平均分成六等份，12等份甚至24等份，随着n的增大，这个多边形会越来越接近圆的周长，他们之间的距离会越来越小。假设这个圆的周长除以直径的真实结果为a，那么多边形的周长除以这个圆的直径的结果就是a1，那么随着n的逐渐增大，a1会有怎样的变化趋势呢？n越大，a1就越接近a，a是一个固定的数。但是我们可以发现，不管n多大，这个多边形的图形都无法和圆完全重合，因为圆根本就没有角。所以我们只能想象这个多边形的角是无限的，也就是和圆重合了，这就是思想实验，把圆进行无限分割，也就是无限思想，这是我们从有限到无限的转变。于是，数学家们通过计算，竟然发现计算出了一个无限不循环小数，不管他们如何再去算，发现都没有尽头，于是科学家们认为，这个数字实在是太特殊了，24字母已经不能再体现它的特殊性了，于是，兀横空出世，直径与周长的比值就是兀，周长除以直径就等于兀。所以现在我们就可以得出圆的周长的计算公式，圆的周长等于直径乘圆周率。用符号语言表达就是c=dx兀。反之，如果我们把直径换成半径呢？通过了解圆的特点，我们知道了圆的直径是半径x2，所以如果用半径求圆的周长，我们可以用半径x2再乘圆周率。那么，如果我们知道周长要求直径呢？很简单，乘除互逆，直径就等于周长除以圆周率，由此我们便算出了圆的周长。

                  三    圆的面积

      求出了圆的周长之后，下一步就是求出我最期待的圆的面积，那么圆的面积该如何求呢？回顾我们曾经学习正方形时，求它的办法：首先找出正方形的固定基准，也就是一个小方块，这个小方块就是单位一，它的整个面积就是一，然后沿着边长进行平移或者拉伸就可以求出正方形的面积。这就是度量思想，那么圆，适不适用于这个方法呢？是不适用的，因为圆无法找到一个固定的基准，正方形这个图形有棱有角，所以它可以找出一个与它的边长完全贴合的基准。但是圆就不行，因为圆并没有一个有棱有角的地方，可以让其他图形完全吻合于它的整个的面积。有人会说，那么小圆在圆里面也可以完全贴合在边上啊，但是虽然小圆的某一处确实可以和圆相吻合，但是小圆与小圆之间的缝隙是无法填补的，所以圆是不适用于度量思想的。仔细回顾，我们还发现了另一种方法，那就是我们在计算平行四边形面积的时候，把它割成了两个三角形，而三角形是我们已知的经验，我们可以求出三角形的面积，所以我们可以先求出一个三角形的面积，然后x2就可以算出平行四边形的面积，这种思想叫做割补变换思想。

      那么圆可不可以尝试用这种方法算出面积呢？我们假设该圆的半径为1，两图中的圆完全相等，左图正方形的面积是多少？右图呢？右图是更好解决的，因为正方形的面积是边长乘边长，所以由图可知正方形边长就等于圆的直径，而圆的直径为半径x2，也就是1×2=2，所以正方形的面积等于2×2=4。右图的正方形算出来了，那么左图的呢？求正方形的面积需要知道边长，但是左图中我们不得知边长是多少，那么我们可以怎样计算呢？我们就可以运用割补变换思想，可以把正方形成两个三角形，这样的话，我们算出三角形的面积x2就可以了。如果要求三角形的面积，首先要知道它的底和高，由图得知，三角形的底等于圆的直径，比较左图与右图正方形的面积，三角形的高等于圆的半径。可以得知2<圆的面积<4，所以可以得出2×1÷2×2=2，这是左图正方形的面积。此时，圆的面积的范围已经缩小到了2到4之间，但是我们如何让这种方法更具有普遍性呢？我们原本假设圆的半径为1，但这是一个固定的数字，我们可不可以设它为“r”呢？那样会不会有什么变化和不同呢？

      我们通过左图可以发现，与上述方法相同，只是把具体的1换成了“r”,我们可以求出正方形的面积是2r的平方。2r✖️r➗2✖️2=2r的平方，这就是左图的正方形面积。而右图和上述过程也是相同的，2r×2r=4r的平方。所以我们可以发现：2r的平方<圆的面积< 4r的平方，由此我们可以进行一个大胆的猜想，圆的面积会不会就是r的平方的兀倍呢？这是很有可能的，但是我们不满足于这样的猜测，我们需要证明我们的猜想。把圆平均分成16个“小三角形”，因为它的底边是曲边，所以它不完全是三角形，在这样的基础上，我们就可以计算出圆的面积的公式，因为我们只要把这16个小三角形的面积算出来，就可以得知圆的面积，那么，这16个小三角形如何求出面积的呢？求三角形面积需知底和高分别是多少，从图中我们可以得知高就是圆的半径，用字母“r”表示，那到底怎么算出来小三角形的底呢？由图可知，一个小三角形的底就是圆的周长除以16，由此我们便可以知道：一个小三角形的高就是r，d是c÷16。我们就可以列出算式：s=1个三角形的面积x数量，由此我们就可以求出这16个小三角形的面积。

      S=c÷16×r÷2×16=cr÷2=1/2cr=1/2x2兀r×r=2兀的平方。但是把圆平均分成16份够不够呢？实际上是不够的，所以这里也是一个思想实验，我们要把圆平均分成无数个三角形，这样算出来的才是圆最精准的面积的算法，由此，我们便可以得出结论，圆的面积就是由半径的二次方x圆周率，那么我们能不能熟练掌握圆的周长和圆的面积并进行知2求1呢？已知半径求面积：S=兀r的平方；已知直径求面积：r=d➗2，S=兀2的平方；已知周长求面积：r=c➗兀➗r，S=兀r的平方；已知面积求半径：r的平方= S➗兀。但是这些东西都是公式，我们更重要的是求出它们的过程和探索的经历。

                      四    尾声

      关于圆的面积我还有另外一种方法来解决，在计算面积的时候，我们可以在圆中画出一个多边形。如果我们可以算出圆内多边形的面积，想象这个多边形有无数多条边，最后可以和圆重合，这样的话，我们可以算出这个多边形的面积，也就是圆的面积。但是目前以我们的数学能力还不足以算出这个n边形的面积。反之计算圆的面积，在圆的外圈画上足够多边的图形，当多边形无限接近圆的时候，最终它的边成为无限，也与圆重合，我们也可以算出圆的面积是多少，但是很遗憾，我们的数学能力还不足以帮助我们算出这样的答案。

      但尽管如此，我对于圆还是有很多疑问的，如圆是如何诞生的？圆周率是因为要计算圆的周长、面积才出现的吗？圆是不是一个完美的图形？既然圆周率是一个无限不循环的小数，那么数学家为何发疯了去计算它？是不是它隐藏着更多东西呢？或者说它是不是跟我们生活中的一切息息相关呢？更比如说圆柱，圆球，圆盘等等立体图形和圆有关的图形，也和圆周率有关吗？圆球又如何求它的表面积和体积呢？这些全都是个未知数，所以我们才要去探索，但是在这之前，一颗好奇心和想象力是必不可少的，除此之外，知识是应该让我们探索和发现的，尽管知道结论，但去证明、验证它，这才是知识。而我们不仅要创造、发现、探索，还要提出属于自己的疑问和质疑、证明，以及等等东西，这才是数学的探索过程和学习的最终意义吧！