参考书目为安德森的《商务与经济统计》，以下为个人的学习总结，如果有错误欢迎指正。有需要本书pdf的，链接在本文末尾。（仅限个人学习使用，请勿牟利）

第四章 概率

概率（probability）：对某一特定时间发生的可能性的数值度量。

4.1 试验、计数法则和概率分配

在概率论中，我们把可以产生明确结果的过程定义为试验（experiment）。一次试验对应一次结果。
一旦确定了试验的所有可能结果，就确定了试验的样本空间（sample space），试验的样本空间是试验所有可能结果组成的一个集合。
任何一个特定的试验结果叫样本点（sample point），它是样本空间的一个元素。

4.1.1 计数法则、组合和排列

多步骤试验（multiple-step experiment）：如果一个试验可以分为循序的k个步骤，在第1步中有种试验结果，在第2步种有种试验结果...以此类推，那么所有可能的结果为。如抛多次硬币

树形图（tree diagram）：是一种帮助分析多步骤试验的图形。

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组合（combinations）：在从N项种选取n项的试验种，还有组合计数法则来确定试验结果的数目。
从n项取m项的组合数：，规定

排列（permutations，arrangement）：
从n项取m项的排列数：，有的教材用P也可以

4.1.2 概率分配

概率分配的基本条件：

1. 分配给每个试验结果的概率值都应该在0到1（包含0和1）之间；
2. 所有试验结果的概率之和为1

古典法（classical method）当各种试验结果是等概率发生时，适合采用古典法进行概率分配。n个结果，每个结果的概率为1/n。

相对频数法（relative frequency method）：相对频数法适用于试验可以大量重复进行。如下图连续20天上午9点的候诊人数。

无候诊患者的概率为2/20=0.1

主观法（subjective method）——商务应用种可以把古典法、相对频数法联合主观法结合在一起。

4.1.3 肯塔基光电公司项目的概率

如图所示，根据往期40个类似项目情况，根据相对频数法来估算可能的概率。

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4.2 事件及其概率

事件（event）：事件是样本点的一个集合。
事件的概率等于事件种所有样本点的概率之和。

4.3 概率的基本性质

4.3.1 事件的补

事件A的补（complement of A）：为所有不包含在事件A种的样本点。记为。下图为文氏图（venn diagram）。

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4.3.2 加法公式

事件A和事件B的并（union of A and B）：A和B的并是所有的属于A或B或同时属于二者的样本点构成的事件，记作
事件A和事件B的交（intersection of A and B）：A和B的交是同时属于A和B的样本点构成的事件，记作

下面的文氏图方便大家理解：

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加法公式：

互斥事件：如果两个事件没有共同的样本点，则称这两个事件互斥
互斥事件的加法公式：

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4.4 条件概率

条件概率（conditional probability）：记作（读作：事件B发生的条件下事件A发生的概率），符号"|"用来表明我们是在事件B已经发生的条件下考虑A发生的可能性。

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两事件的交，称为联合概率（joint probability）（图中白色部分）
边际概率（marginal probability），图中灰色部分。并且总是可以由联合概率按行和列求和得到。

条件概率：（理解：分母发生的概率，分子发生的概率）
如上述男性升职概率：

4.4.1 独立事件

独立事件（independent events）：事件A和事件B是相互独立的，
若：则A、B两事件相互独立，否则两个事件是相依的。

4.4.2 乘法公式

用于计算两个事件交的概率。乘法公式就是根据条件概率的基础转化而来的。
乘法公式（multiplication law）：
或
（理解右边式子已经发生了A，那么在乘在A情况下发生B的概率即可）

如：报纸订阅，D事件“某住户订阅了报纸”，S事件“不仅订阅了报纸还定了特刊”；即、
则

独立事件的乘法公式：
当然也可以用这个公式来判断两个事件是否相互独立，如果不等于则相依。
如：加油站用信用卡的用户为80%，A事件是第一名顾客用信用卡，B事件是第二名顾客用信用卡。

4.5 贝叶斯定理

初始/先验概率（prior probability）：是指根据以往经验和分析得到的概率
后验概率（posterior probability）：当获得了有关该事件新的信息时，就可以计算修正概率对先验概率进行更新而得到后验概率。
贝叶斯定理（Bayes's theorem）：提供了计算后验概率的方法。如下图

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贝叶斯定理（两事件的情形）

贝叶斯定理常用于：我们希望计算后验概率的那些事件是互斥的，并且他们构成了整个样本空间。对n个互斥事件，它们的并是整个样本空间。可以利用下面的贝叶斯定理计算任何后验概率，即贝叶斯定理

4.5.1 表格法

用表格法帮助完成贝叶斯定理中的计算。
第一步：准备三列数据：
第1列——需要计算后验概率的互斥事件
第2列——事件的先验概率
第3列——新信息B关于每个事件的条件概率
第二步：在第四列中用乘法公式计算
第三步：sum（第四列），且和为概率
第四步：在第五列利用条件概率的基本关系计算后验概率

如下面这张图：

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