多元函数-微分法

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定义的推广，一般说来是通过放松条件实现的，条件依赖于形式，所以推广需要对特定形式的公式进行。推广的含义就是将原先不符合条件的事物变得符合条件，比如从一维到多维，就是放松了维度的限制，还有普通乘法到群乘法，同样是去除了很多限制条件和运算律。
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函数增量和自变量增量之比的极限就是导数，第二个式子就是去除了极限留下了无穷小项，随着h的减小，无穷小项将变为零。这就反映了极限的本质，一个是不变的部分，一个是变化的部分，变化的部分会随着某一参数逼近某一个值而趋于零，所以使用极限符号表示时，这个部分就消失了，只留下不变的部分。数学分析中的无穷小序列的重要性就在这里，任意的极限运算都必然可以转化为常量和无穷小量的加和。
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这一段说明了推广的思想，本来导数就是将一个数变化为一个数，但是把这个数看作一个向量，就变成了将一个向量变化成另一个向量，这就是算子，线性是导数自身的要求。合起来导数就是线性算子。括号里面是对一维情形的解释，感觉比较平凡。
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向量函数的导数，和前面的定义差不多，不过导数值变成了向量，向量是实数到n维向量空间的线性变换，{\vec V(t):\mathbb R\to\mathbb R^m;t\mapsto (x_1(t),...,x_m(t))}
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可以看到第二个式子写错了，少了个h
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这个定义就是将导数显明的写作线性变换A，说明了多元函数导数的实质。这里的多元函数是一般化的，{f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n}一般学习的是实值函数{f:\mathbb R^m\to\mathbb R}，这种一般化的多元函数是微分几何中的研究对象，反映曲面的映射关系，或者流形间的映射。
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一些补充说明
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导数的唯一性，唯一性证明的方法有很多，本质上就是证明他们在相差一个容许变换的情况下相等，也就是说对于定义而言是同构的。比如这个证明，就是说两个不同的导数作差之后在极限下为零。
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第一条，余项问题，没什么可说的，对函数差值的线性近似
第二条，反映了导数的特殊性，本质上是切丛，所以对于每点切空间有定义，同时对于所有的点又有定义。
第三条，可微必连续
第四条，微分，全导数，保持了所有的变化特征。偏导数只是取其中关键的部分
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线性变换的导数是自身，可能看的比较迷惑，不过下面的式子说明了这个道理{A(x+h)-Ax=Ax+Ah-Ax=Ah=A'h,so\ A'=A}，由于线性变换的线性运算性质可得。把A换做k就清楚了，{f(x)=kx,f'(x)=k;f(\vec x)=A\vec x,f'(\vec x)=A}
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链式法则，需要注意，导数是依存于特定的点而存在的，是该点的切空间的变换，不能随意变更点的位置。
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偏导数就是在特定的基下分量函数关于某一个基变化的导数，记为{D_jf_i=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}
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说明了偏导数的不完备性，是相对于直线约束的函数变化。微分则是完备的。
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约束就是部分函数，仅取函数的部分值。
f

g

使用GeoGebra绘图，与直线的斜率有关，感觉有点奇怪，如果围绕原点画圆的话肯定是不连续的，可是沿直线就是连续的。让人费解。
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这个定理就是线性变换沿坐标的分解，取其分量。
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这个就是线性变换的矩阵，当函数为坐标变换时应该叫雅可比矩阵，一般情形姑且叫导数矩阵。
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可微曲线上的导数，就是向量值函数的特殊情形{g(t):\mathbb R\to \mathbb R^n\to\mathbb R}
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导数只关心最终映射关系，内部的变换被封装起来，变成线性变换的运算。
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通过梯度描述可微曲线上函数的导数。
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可微曲线限制为直线时，就变成了方向导数。{D_{\vec u}f(x)}，包含两个参数，点的位置，和导数的方向。
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这个式子给出了方向导数的计算公式，将导数的方向按照标准基分解，其坐标作为权值进行加权求和。
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拉格朗日定理，说明了可微函数与线性变换差不多，满足范数不等式。{\Vert Ax-Ay\Vert \leq \Vert A\Vert\vert x-y\vert}
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导数恒为零，为常数函数。
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{C'=C^1}可微映射空间，连续映射的基本定义，在证明中常见的可以表示为{\Vert fx-fy\Vert\leq\vert x-y\vert }
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所有偏导存在且连续，所有偏导数其实就可以大致确定出微分了，连续性则是最终保障，排除那种旋转不连续的奇异情形。好像明白了一些东西，对于平面自由度的完全确定，不仅包括平移，也就是各个方向偏导数，还包括旋转，旋转偏导数。一般人们只注意到平移性，而忽视了旋转性，这里面可能存在未知的东西，所以，物理上的描述在旋转的情况下应该是有问题的，因为物理上的连续性是通过直观和常识确定的，并非基本假设导出的。

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