本篇文章是笔者个人的复习笔记。由于新开设的偏微分方程（即数理方程）对高数的要求较高，或者说，这门学科本质上就是高等数学（或者数学分析）的延申。因此，为了能够从根本上掌握这门学科的知识，复习势在必行。本篇文章将会梳理从多元函数到场论的相关内容。
如果读者想要快速梳理、回忆高数的相关内容，那么本篇文章正适合您。
多元函数
形如的，具有多个参变量的函数被成为多元（数量值）函数。输入量也可以写成向量形式，例如
。
和普通函数一样，多元函数也可以讨论极限、连续、导数、微分等概念。下面将会进行简短的回忆、总结。
- 二重极限
依旧沿用语言进行定义。一般来说可以这么定义，如果对于一个二元函数
的某点
，如果对于任意的
，都存在一个正数
，使得在
点的
去心邻域中的所有点
都能够满足
那么就认为A是该函数的二重极限。
注意一个事实，就是二重极限事实上要求无论从什么方向（或者曲线）趋近于
，都能够得到相同的极限值。
由于二重极限的定义本质上与之前的定义没有太大差别，所以可以证明，对于一元函数极限的性质（唯一性、局部有界、局部保号性、夹逼准则、海涅定理等），以及各种极限的运算技巧，都适用于二重极限。
- 二元连续函数
依照一元函数定义，我们可以定义二元连续函数，是指满足“函数的极限值与该点函数的值相等”的函数。
可以证明，二元连续函数的加减乘除、复合依旧是连续函数。
- 偏导数
偏导数描述的是函数在某个自变量变化方向上的变化趋势。或者可以理解为，对于某自变量来说，当其他自变量都不变（或者说，视为参数）时的一元导数。
偏导数的具体定义一般为
- 梯度与方向导数
直接上结论：梯度的本质是多元数量值函数的导数。
对于二元函数，这个导数是一种关于的向量值函数。一般记作
而方向导数本质上是对于某确定自变量变化方向上（可以理解为射线）的导数。
方向导数可以由已知偏导数计算。
梯度满足类似于导数的运算法则，例如
-
(这证明梯度运算，或者算子满足线性特征，是一种多元向量值函数上的线性映射。)
这再次印证了梯度运算的类求导性质。
- 全微分
对于我来说，微分一直是数学分析学习过程中的一个模糊的点。最主要的是，微分这一概念经常被人们理解为所谓「无穷小量」。但是，这种不能严格描述的量是牛顿-莱布兹尼微积分学的产物，这种古典的概念，不能和现代的数学体系相容。
对于一元函数的微分，最准确的定义应该是基于极限理论和导数之上的。对于一个一元函数在某点
的微分，本质上是一种关于
的「线性映射（函数）」，记作
，并且这种线性函数满足
。
微分的用处一般在于对的逼近上。因为一般来说
可以证明最右项就是关于
的高阶无穷小。
现在我们考虑多元函数的全微分（事实上向量值函数也可以这么思考），相似地，对于多元函数，我们定义全微分
（或者
），代表了一种关于
的线性映射
，并且
是该点多元函数的导数。并且在这里，
那么就有
可以证明，
，
，这里的微分虽然是指一元函数的微分，但是如果我们采用微分的广义定义（如上），则可以完全相兼容。所以
如果认为函数的自变量是一个整体的向量，那么dz可以认为是对这种向量改变量
的一种线性映射。
显然地，我们可以知晓一个事实，即对于多元数量值函数，可微的充要条件是所有偏导都存在。
对于复合函数的求偏导，以及求全微分，依旧能够满足「链式法则」。例如对于函数 产生的复合函数
，当均可微时，有
并且全微分显然也满足「全微分形式不变性」以及 相关的运算法则，再此不再赘述。
