高数复习——从多元函数到场论

本篇文章是笔者个人的复习笔记。由于新开设的偏微分方程（即数理方程）对高数的要求较高，或者说，这门学科本质上就是高等数学（或者数学分析）的延申。因此，为了能够从根本上掌握这门学科的知识，复习势在必行。本篇文章将会梳理从多元函数到场论的相关内容。

如果读者想要快速梳理、回忆高数的相关内容，那么本篇文章正适合您。

多元函数

形如 $z = f(x, y)$ 的，具有多个参变量的函数被成为多元（数量值）函数。输入量也可以写成向量形式，例如 $z = f(\pmb x)$ 。

和普通函数一样，多元函数也可以讨论极限、连续、导数、微分等概念。下面将会进行简短的回忆、总结。

二重极限

依旧沿用 $\epsilon - \delta$ 语言进行定义。一般来说可以这么定义，如果对于一个二元函数 $f(\pmb x)$ 的某点 $\pmb x_0$ ，如果对于任意的 $\epsilon > 0$ ，都存在一个正数 $\delta$ ，使得在 $x_0$ 点的 $\delta$ 去心邻域中的所有点 $x$ 都能够满足 $|f(x) - A| < \epsilon$ 那么就认为A是该函数的二重极限。

注意一个事实，就是二重极限事实上要求 $x$ 无论从什么方向（或者曲线）趋近于 $x_0$ ，都能够得到相同的极限值。

由于二重极限的定义本质上与之前的定义没有太大差别，所以可以证明，对于一元函数极限的性质（唯一性、局部有界、局部保号性、夹逼准则、海涅定理等），以及各种极限的运算技巧，都适用于二重极限。

二元连续函数

依照一元函数定义，我们可以定义二元连续函数，是指满足“函数的极限值与该点函数的值相等”的函数。
可以证明，二元连续函数的加减乘除、复合依旧是连续函数。

偏导数

偏导数描述的是函数在某个自变量变化方向上的变化趋势。或者可以理解为，对于某自变量来说，当其他自变量都不变（或者说，视为参数）时的一元导数。
偏导数的具体定义一般为 $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

梯度与方向导数

直接上结论：梯度的本质是多元数量值函数的导数。
对于二元函数，这个导数是一种关于 $(x, y)$ 的向量值函数。一般记作
$grad f(x_0, y_0) = \begin{bmatrix} f_x(x_0, y_0) \\ f_y(x_0, y_0) \end{bmatrix}$
而方向导数本质上是对于某确定自变量变化方向上（可以理解为射线）的导数。
方向导数可以由已知偏导数计算。

梯度满足类似于导数的运算法则，例如

$\nabla (C_1 u + C_2 v) = C_1 \nabla u + C_2 \nabla v$
(这证明梯度运算，或者 $\nabla$ 算子满足线性特征，是一种多元向量值函数上的线性映射。)
$\nabla(uv) = u \nabla v + v \nabla u$
$\cdots$

这再次印证了梯度运算的类求导性质。

全微分

对于我来说，微分一直是数学分析学习过程中的一个模糊的点。最主要的是，微分这一概念经常被人们理解为所谓「无穷小量」。但是，这种不能严格描述的量是牛顿-莱布兹尼微积分学的产物，这种古典的概念，不能和现代的数学体系相容。

对于一元函数的微分，最准确的定义应该是基于极限理论和导数之上的。对于一个一元函数 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的微分，本质上是一种关于 $\Delta x$ 的「线性映射（函数）」，记作 $df(x_0) = A \Delta x$ ，并且这种线性函数满足 $A = f^{'}(x_0)$ 。

微分的用处一般在于对 $\Delta y$ 的逼近上。因为一般来说 $\Delta y = f^{'}(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)$ 可以证明最右项就是关于 $\Delta x$ 的高阶无穷小。

现在我们考虑多元函数的全微分（事实上向量值函数也可以这么思考），相似地，对于多元函数 $z = f(\pmb x)$ ，我们定义全微分 $dz$ （或者 $df(x_0)$ ），代表了一种关于 $\Delta \pmb x$ 的线性映射 $dz = A \Delta \pmb x$ ，并且 $A$ 是该点多元函数的导数。并且在这里，
$A = \begin{bmatrix} f_x(x_0, y_0) & f_y(x_0, y_0) \end{bmatrix} = Df(x_0)$ 那么就有
$dz = \begin{bmatrix} f_x(x_0, y_0) & f_y(x_0, y_0) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y$ 可以证明， $\Delta x = dx$ ， $\Delta y = dy$ ，这里的微分虽然是指一元函数的微分，但是如果我们采用微分的广义定义（如上），则可以完全相兼容。所以 $dz = f_x dx + f_y dy$ 如果认为函数的自变量是一个整体的向量，那么dz可以认为是对这种向量改变量 $\Delta \pmb x$ 的一种线性映射。

显然地，我们可以知晓一个事实，即对于多元数量值函数，可微的充要条件是所有偏导都存在。

对于复合函数的求偏导，以及求全微分，依旧能够满足「链式法则」。例如对于函数 $u = u(x, y), v = v(x, y), z = f(u, v)$ 产生的复合函数 $x, y \to z$ ，当均可微时，有
$z_x = z_u u_x + z_v v_x$ $z_y = z_u u_y + z_v v_y$ 并且全微分显然也满足「全微分形式不变性」以及相关的运算法则，再此不再赘述。

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多元函数

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