课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.430 - p.435

1. 几何法由拉普拉斯变换零极点图求傅里叶变换

我们知道一个信号的拉普拉斯变换当取 $s = j \omega$ 时，就变成了该信号的傅里叶变换。那么对应在s平面上，若想求一个信号的傅里叶变换，就可以理解为，在s平面 $j \omega$ 轴上求拉普拉斯变换的值。

这篇笔记就来学习课本第430页讲到的，由（与一个有理拉普拉斯变换有关的零极点图）来求傅里叶变换的一种求值方法，并且更一般的，这个方法可以求任意s点上的拉普拉斯变换的值。

首先从简单的开始，考虑只有一个零点的拉普拉斯变换，即，

$X(s) = s-a$

求这个拉普拉斯变换在某一给定 $s = s_1$ 处的值。考虑到 $s_1 - a$ 是两个复数的和，一个是 $s_1$ ，一个是 $-a$ ，回忆以前本科学习复变函数，每个复数都可以表示为复平面内的一个向量，向量方向为从原点指向该复数。那么代表复数和 ${s_1} - a$ 的向量就是向量 $s_1$ 和向量 $-a$ 的和，如下图所示，

在s平面内用向量表示复数之和

那么， $X(s_1)$ 的模就是向量 $s_1 - a$ 的长度，而 $X(s_1)$ 的相位就是这个向量与实轴的角度。

如果 $s=a$ 是一个极点，即 $X(s) = 1/(s-a)$ ，这时 $X(s_1)$ 的模就是向量 $s_1 - a$ 的长度的倒数，相位是该向量相对于实轴角度的负值。

推广开来，一个更为一般的拉普拉斯变换是由上述讨论的零点项和极点项的乘积所组成，如下所示，

$X(s) = M \cdot \frac{{\Pi}_{i = 1}^{R} (s-{\beta}_i)}{{\Pi} _{j=1}^{P} (s-{\alpha}_i)}$

为了求 $X(s)$ 在 $s=s_1$ 的值，上式乘积中的每一项都可以用一个从零/极点到 $s_1$ 点的向量来表示。那么 $X(s_1)$ 的模就是 $M$ 乘以各零点向量长度的乘积再除以各极点向量长度的乘积，而 $X(s_1)$ 的相角就是各零点向量角度的和减去各极点向量角度的和，如果 $M$ 为负，那么对应一个附加相角 $\pi$ 。

如果 $X(s)$ 中存在多阶零点或极点，那么在计算 $X(s)$ 时要计算上对应的倍数等于阶数。

例9.12 $X(s) = \frac{1}{s+1/2}$ , $Re\{ s \} > - \frac{1}{2}$

那么傅里叶变换就等于 $X(s) \vert _{s=j \omega}$ ，即

$X(j \omega) = \frac{1}{j \omega + 1/2}$

画 $X(s)$ 的零极点图如下所示，

例9.12图

为了用几何法确定傅里叶变换，在图中构造了极点向量。傅里叶变换在频率 $\omega$ 处的模，就是从极点到虚轴上 $j \omega$ 点的向量的长度的倒数，傅里叶变换的相位就是这个向量的与实轴夹角的负值。那么根据上图就可以利用几何关系写出傅里叶变换模和相位的表达式，

$\vert X(j \omega) \vert ^2 = \frac{1}{{\omega}^2 + (1/2)^2}$

$\sphericalangle X(j \omega) = - \arctan (2 \omega)$

利用几何法求傅里叶变换最大的价值在于可以很快的近似观察傅里叶变换的整体特性，从上面这个例子的图中可看出，极点向量长度随着 $\omega$ 的增加而单调增加，那么傅里叶变换的模将随着 $\omega$ 的增加而单调递减，相位的变化也可以用同样的方法进行分析。

1.1 一阶系统

参考我写的lec#12的笔记第5.1节，有关一阶连续时间系统，其微分方程有如下表示，

$\tau \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t} + y(t) = x(t)$

不计算这个连续时间一阶系统的单位冲激响应了，直接复制过来，

$h(t) = \frac{1}{\tau} e^{-t/{\tau}} u(t)$

该单位冲激响应的拉普拉斯变换为，

$H(s) = \frac{1}{s \tau + 1} , \quad Re \{ s \} > - \frac{1}{\tau}$

其零极点图如下图所示，从图中可以看出，极点向量的长度在 $\omega = 0$ 处最短，随着 $\omega$ 增加而单调增加。对于极点向量的角度，随着 $\omega$ 从0增加到无穷大，角度从0增加到 $\pi /2$ 。

连续时间一阶系统单位冲激响应的拉普拉斯变换的零极点图

那么因为这是一个极点，因此系统单位冲激响应的傅里叶变换的模会随着 $\omega$ 增加而单调递减，傅里叶变换的相位会随着 $\omega$ 增加而从0减小到 $- \pi /2$ ，对应如下伯德图，

一阶系统的频率响应

注意到，当 $\omega = 1/ {\tau}$ 时，利用几何法可以确定极点向量的实部和虚部相等，那么傅里叶变换的模下降到 $\omega = 0$ 时的 $1/\sqrt{2}$ ，或近似下降了3dB，傅里叶变换的相位为 $- \pi /4$ 。

这与我写的lec#12的笔记就对应了起来， $\omega = 1/ {\tau}$ 称为转折频率，在这个频率下， $\vert H(j \omega) \vert$ 的伯德图在这里发生转折。

我们当时说过，时间常数 $\tau$ 控制了系统的响应速度，现在看到，这样一个系统在 $s = - 1/ {\tau}$ 处的极点在负实轴上，这个极点到原点的距离就是时间常数的倒数。

利用零极点图来看时间常数，或者等效的说 $H(s)$ 的极点位置变化，如何影响or改变一阶系统的特性。当极点向左侧移动时，系统的转折频率或有效截止频率就会增加，从图上看，就是极点越往左移，那么在虚轴上找与极点和原点长度相等的 $j \omega$ 点越高，对应的系统转折频率增加。同时，极点向左移动，对应着时间常数逐渐减小，导致系统单位冲激响应衰减更快，阶跃响应具有更快的上升时间。

极点位置的实部和系统响应速度之间的关系总是成立的，即越是远离 $j \omega$ 轴的那些极点，总是对应着单位冲激响应中的快速响应项。

1.2 二阶系统

学习lec#12时的梦魇。。。我又回来了。。。

利用如下线性常系数微分方程表示一个连续时间二阶系统，这种表示方式在许多实际物理系统具有很重要的应用，比如汽车减震系统和RLC二阶电路分析，

$\frac{\mathrm{d} ^2 y(t)}{\mathrm{d} t^2} + 2 \zeta \omega _n \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t} + {\omega}_{n}^{2} y(t) = {\omega}_{n}^{2} x(t)$

对上面的方程做拉普拉斯变换，

$s^2 Y(s) + 2 \zeta \omega _n s Y(s) + {\omega}_{n}^{2} Y(s) = {\omega}_{n}^{2} X(s)$

那么单位冲激响应的拉普拉斯变换就可以写作，

$H(s) = \frac{{\omega}_{n}^{2}}{s^2 + 2 \zeta \omega _n s + {\omega}_{n}^{2} } = \frac{{\omega}_{n}^{2}}{(s-c_1)(s-c_2)}$

其中，

$c_1 = - \zeta \omega _n + \omega _n \sqrt{{\zeta}^2 - 1}$

$c_2 = - \zeta \omega _n - \omega _n \sqrt{{\zeta}^2 - 1}$

我们在这里插一句，该系统的单位冲激响应可以表示为，

$h(t) = M[e^{{c_1} t} - e^{{c_2} t}] u(t)$

其中，

$M = \frac{{\omega}_n}{2 \sqrt{{\zeta}^2 - 1}}$

好的，现在回来分析 $H(s)$ ，分为两种情况分析，

当 $\zeta > 1$ 时，对应lec12中说到的过阻尼

此时 $c_1$ 和 $c_2$ 都是实数，因此两个极点都在实轴上，如下图所示，图(a)和图(b)分别是不同 $\zeta$ 时的零极点图，

过阻尼时的零极点图

$c_1$ 是距离虚轴更近的那个极点， $c_2$ 是距离虚轴远的那个极点。 $H(s)$ 可以看做两个一次项的乘积，那么 $\vert H(j \omega) \vert$ 随着 $\vert \omega \vert$ 增加而单调递减，而 $\sphericalangle H(j \omega)$ 在 $\omega = 0$ 时为0变化到，当 $\omega \to \infty$ 时趋于 $- \pi$ 。两个极点中的每一个，其到 $j \omega$ 点的向量长度都随着 $\omega$ 增加而单调增加，而每个极点向量的相角则随 $\omega$ 从0变化到 $\infty$ 相应的从0增加到 $\pi /2$ 。

同时注意到，随着 $\zeta$ 的增加，一个极点移向 $j \omega$ 轴（这就是在单位冲激响应中衰减较慢的一项），而另一个极点则向更左边移动（对应着在单位冲激响应中衰减较快的一项）。这部分也对应着上文讲一阶系统时极点位置对单位冲激响应的影响。

如图(b)所示，在较大的 $\zeta$ 值下，紧靠着 $j \omega$ 轴的这一极点支配着系统的响应。在低频部分，紧靠 $j \omega$ 轴的极点向量的长度和相角随 $\omega$ 变化的灵敏程度，远远大于另外那个远处的极点。因此在低频区域，频率响应特性主要受紧靠 $j \omega$ 轴的极点的影响。

当 $0 < \zeta < 1$ 时，对应lec12中说到的欠阻尼，系统的单位冲激响应和阶跃响应都会存在振荡。

当 $0 < \zeta < 1$ 时， $c_1$ 和 $c_2$ 都是复数，零极点图如图(c)所示。注意两个极点是复数共轭的，我也不知道为啥书上的插图看起来两个极点不对称，可能是我截图用的教材是老版本的？新版本教材上就没有这个问题。先不管了，知道两个极点是复数共轭的，在s平面上应该关于实轴对称。实际上，任何一个实值信号，其复数极点或零点总是共轭成对出现的。

实轴上方的极点是 $c_1$ ，下方的极点是 $c_2$ 。简单计算可以发现，极点与原点的距离等于 $\vert \omega _n \vert$ 。

欠阻尼时的零极点图

当 $\zeta$ 较小时，这些极点很靠近 $j \omega$ 轴，随着频率 $\omega$ 接近于 $\omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2}$ ，也就是极点的虚部时，频率响应特性主要由 $c_1$ 所决定。尤其当 $\omega = \omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2}$ 时，该极点向量的长度具有最小值，那么定性来看，频率响应的模在这个频率会有一个峰值，实际上因为其他极点的存在，频率响应的模真正出现在比频率 $\omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2}$ 略小一点的位置。如下图所示，频率响应的模的峰值出现在 $\omega = \omega _n = 1$ 的位置。

欠阻尼时二阶系统的频率响应

由上图看出，这个二阶系统是个非理想的带通滤波器，参数 $\zeta$ 控制着频率响应的尖锐程度和峰值宽度。参考下图图(d)，极点的高度也就是极点虚部为 $\omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2}$ ，当频率在这个位置时，频率响应的模取得峰值。利用几何法，当频率在这个位置上下各变化 $\zeta \omega _n$ 时，几何法确定极点向量的长度变长了 $\sqrt{2}$ 倍。记住在 $\zeta$ 较小时，第三象限的极点对频率响应的影响可以忽略。

那么， $\vert H(j \omega) \vert$ 在频率范围 $\omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2} - \zeta \omega _n < \omega < \omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2} + \zeta \omega _n$ 内，变化范围是峰值的 $1/{\sqrt{2}}$ 。

定义相对带宽为上述的频率间隔除以自然频率，得，

$B = 2 \zeta \omega _n / {\omega _n} = 2 \zeta$

因此， $\zeta$ 越接近0，频率响应的峰值越尖锐，峰值宽度越窄。

相对带宽定义

另外， $B$ 的倒数就是二阶系统品质因数 $Q$ 。因此随着品质因数增加，相对带宽减小，滤波器的频率选择性越强。

现在再来研究二阶系统频率响应的相位特性。从图(d)可以看出，在频率范围 $\omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2} - \zeta \omega _n < \omega < \omega _n \sqrt{1-{\zeta}^2} + \zeta \omega _n$ 内变化时，图(d)中看出向量角度有 $\pi /2$ 的变化量，对应着频率响应相位特性中 $\pi /2$ 的迅速变化。

上面的讨论都是固定 $\omega _n$ 来看 $\zeta$ 变化对系统频率响应的影响，实际上，如果单单考虑变化 $\omega _n$ 对系统的影响，就是两个极点远离原点，对应在s平面上，就是改变了频率坐标的尺度。也就是说， $\vert H(j \omega) \vert$ 和 $\sphericalangle H(j \omega)$ 只取决于 $\omega / {\omega}_n$ 。