跳表
因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找算法了吗？
只需要对链表稍加改造，就可以支持类似”二分“的查找算法。把改造之后的数据结构叫做跳表（Skip list）。
如何理解跳表
对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是O(n)。
那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级”索引“，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上级，把抽出来的哪一级叫做索引或索引层。图中的down表示down指针，指向下一级结点。
如果现在要查找某个结点，比如16。可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为13的结点时，发现下一个结点是17，那要查找的结点16肯定就在这两个结点之间。然后通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，只需要再遍历2个结点，就可以找到值等于16的这个结点了。这样，原来如果要查找16，需要遍历10个结点，现在只需要遍历7个结点。
从这个例子中，可以看出，加上一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。那如果再加一层索引呢，效率会不会提升更多呢？
跟前面建立第一级索引的方式相似，在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在再来查找16，只需要遍历6个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。
例子中的数据量不大，所以即便 加了两级索引，查找效率的提升也并不明显。为了能真切地感受索引提升查询效率。64个结点的链表，建立了五级索引，如下图
原来没有索引的时候，查找62需要遍历62个结点，现在只需要遍历11个结点，速度是不是提高了很多。所以，当链表的长度n比较大时，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。
这种链表加多级索引的结构，就是跳表。
用跳表查询到底有多快？
在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？
如果链表里有n个结点，会有多少级索引呢？
按照刚才所述，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是n/(2的k次方)。
假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。可以求得h = log2n -1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n。在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m * logn)。那这个m的值时多少呢？按照前面这种索引结构，每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说m = 3。
假设要查找的数据是x，在第k级索引中，遍历到y结点之后，发现x大于y，小于后面的结点z，所以通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点（包含y和z），所以，在k-1级索引中最多只需要遍历3个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
通过上面的分析，得到m = 3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，基于单链表实现了二分查找。这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，也就是空间换时间的设计思路。
跳表是不是很浪费内存？
比起单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？来分心一下跳表的空间的复杂度。
假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
这几级索引的结点总和就是n/2 + n/4 + n/ 8 + ... + 8 + 4 + 2 = n - 2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果包含n个结点的单链表构造成跳表，需要额外再用接近n个结点的存储空间。那有没有办法降低索引占用的内存空间呢？
前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果每三个结点或者五个结点，抽一个结点到上一级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？每三个结点抽一个结点到上级索引的示例图如下
从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引结点个数都除以3。为了方便计算假设最高一级的索引结点个数是1.把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。
通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3 + n/9 + n/27 + ... + 9 + 3 + 1 = n / 2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点到索引的构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。
