回归思维原点 探究数学本质

                ---“2、5、3倍数的特征复习”教学设计

今年春季，由于疫情的影响，各地开启了线上教学模式。随着疫情防控形势的好转，我们的教学也开始回归了线下。从近期复课后的教学和检测情况来看，部分学生的线上学习效果并不乐观，其学习是浮于“依葫芦画瓢式”的模仿层次，并没有真正理解其中的本质和道理。因此，面对复课后的线下教学，我们要在全面了解、掌握学生学习情况的基础上，做好线上线下教学的有效衔接,遵循学生的认知起点，科学整合教学内容，正确定位教学目标，合理安排教学活动，灵活调整教学设计。下面以253倍数的特征为例，谈一谈自己的一些实践。

【课前慎思】

2、5、3倍数的特征隶属于因数和倍数这一单元，是小学数学教材中重要的教学内容之一。对于此部分内容，人教版和苏教版教材都将其安排在五年级下册进行教学，而且都是选择借助百数表，引导学生在表中依次圈出相应数的倍数，在直观操作和观察中发现规律，归纳特征，进而得出判断2、5、3倍数的特征的方法。

随着课程改革的逐步推进，我们的数学课堂教学正在从知识导向、能力导向逐步走向内涵更加丰富的数学素养为导向的教学。因此，数学课堂教学在关注知识、技能的同时，更要关注学生更长远的发展，使学生在掌握知识，习得技能的同时，学会思考，学会学习。而学会思考的重要一环是让学生对所学知识“知其然更知其所以然”，然而通过课前检测我们发现，通过一段时间的线上学习，虽然多数学生对2、5、3的倍数的特征掌握较好，但他们也仅仅能够根据特征判断一个数是不是2、5、3的倍数，对于一些稍有变化的题目，部分学生就显得不知所措。可见，知道结论对学生而言仅仅是解决了是什么的问题，而涉及数学本质的更深层次的为什么，还是无从谈起。

面对此种情况，复课后的教学，如果还是单一地复习概念、结论，训练题型，势必会陷入“炒冷饭”的困境，难以让学生对学习内容产生兴趣，从而导致学习效率低下。怎样才能促进学生主动参与学习，在巩固知识的同时实现培养学生能力，促进学生思维发展的目标呢？在教学时，我力求回到学生思维的原点处，从数学本质的角度出发，围绕“为什么判断2、5的倍数只需要看个位，而3的倍数却要看全部的数位”这一核心问题，鼓励学生通过圈一圈、分一分、说一说、写一写、找一找，引导学生从位值意义上进行探究，借助小棒、格子图等学具，经历从形象、半抽象到抽象的过程，帮助学生理解特征背后的原理，沟通道理上的相通之处，使学生从“知其然”走向“知其所以然”。

【课中笃行】

一、复习引入，提出问题

出示：

判断下列哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数是3的倍数？并说一说你是怎样判断的？

24    35    67  90  15  106    531    6018    8100

根据学生的回答，依次出示：2、5、3倍数的判断方法。

师：看来同学们对2、5、3的倍数的特征掌握的挺好。我们知道，判断一个数是不是2或5的倍数，只需要看它个位上的数就可以了，而要判断一个数是不是3的倍数，就要看各位上数的和。可同学们有没有想过：为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数，而3的倍数却要看全部的数位呢？ 今天我们来研究这个问题。

二、活动导学，追溯本质

（一）探究2和5的倍数特征的本质。

1、聚焦数位，感知本质。

师：按理说，能否成为一个数的倍数应该与这个数的各个数位上的数字都有关，而不仅仅是个位数字。而2和5的倍数却只需要看个位，这是怎么回事呢？我们能不能把一个具体的数拆成由各个数位上的数组成的数，看看里面到底藏着怎样的秘密？请同学们拿出学习单，先独立完成活动一，然后全班交流。

活动一：

拆一拆，想一想：

1、照样子，将下列各数分别拆成“各个数位上的数之和”的形式，想一想：2的倍数与和中的哪些数有关？

    例：468=400 +60+8 或468=4×100 + 6×10 + 8

（1）14=（  ）+（  ）

（2）45=（  ）+（  ）

（3）328=（  ）+（  ）+（  ）

（4）7532=（  ）+（  ）+（  ）+（  ）

2、思考：为什么2的倍数只需要看个位上的数呢？

汇报交流：

生1:14=10+4，45=40+5，328=300+20+8，7532=7000+500+30+2,，除了个位上的数之外，其余各位上的数都表示整十、整百、整千的数，已经是2的倍数了，所以只要看个位上的数就行。

生2:14=1×10+4，45=4×10+5，328=3×100+2×10+8，7532=7×1000+5×100+3×10+2,，这些数都可以写成（  ）×1000+（  ）×100 +（  ）×10+（  ）的形式，1000、100和10都是2的倍数，所以只用看个位上的数是不是2的倍数就可以判断了。

生3：我觉得它们都可以写成（  ）×10+（  ）的形式，比如328=32×10+8，,32×10肯定是2的倍数，所以只要看个位上的数就行了。

师：谁听懂他的想法了？

生：他是把一个数的个位和其他数位分开来看了，除个位外，其他数位上的数都可以看做是几个十，是2的倍数，就只用看个位了。

师：比较一下这几种方法，它们有什么联系？

生：不管是乘1000、还是乘100、乘10，这些数肯定都是2的倍数，所以都不用再看了，只需要看个位上的数就可以判断。

3、借物析理，理解本质

  师：同学们说的太精彩了，下面我们以14为例，借助小棒来将刚才的思路再理一理。

  课件演示：

  把一个十，也就是10根小棒，2根2根地分，正好分完，所以我们只需要看个位上的4根，2根2根地分，也是正好分完。

  师：（课件出示）如果是24根呢？

  生：24根可以分成2个十和4个一。2个十是2的倍数，再看剩下的4根，4也是2的倍数。

  师：那如果是3个十、4个十、5个十……呢？还是不是2的倍数，能说说其中的道理吗？

  生：因为1个十是2的倍数，所以不管是几个十，都是2的倍数。

  师：说的太好了！不管是几个十，都是2的倍数，所以我们在判断时，只需要看哪一位就行了？

生：个位

师：现在谁能来说一说判断45是不是2的倍数，只需要看个位，不用看其他数位的道理？328呢？

生答略。

根据学生的回答，师板书：

45= 4×10 +5              328 =  32×10  + 8

  2的倍数                        2的倍数

3、迁移类推，联通道理。

师：通过刚才的交流、讨论，我们知道了一个数是不是2的倍数，实际上是跟这个数的每一位上的数都有关。只不过个位前面的那些数所代表的数都已经是2的倍数了，所以判断一个数是不是2的倍数只要看个位上的数就可以了。如果个位上的数是2的倍数，那么这个数就一定是2的倍数。如果个位上的数不是2的倍数，那么这个数就一定不是2的倍数。请你想一想，我们学过的数中，还有谁的道理和它是一样的？为什么？

生：5的倍数。刚才我们已经发现，任何一个数都可以拆成（  ）×100+（  ）×10+（ ）的形式，除个位上的数之外，其余各位上的数都表示整十、整百的数，它们都是5的倍数，所以只要看个位上的数就行。

（二）学法迁移，探究3的倍数特征的本质。

1、反思总结，学法迁移

师：我们通过拆数的方法研究了2和5的倍数为什么只用看个位的道理。但3的倍数呢？为什么不能只看个位呢？

生：因为10不是3的倍数，那么几个十也不一定是3的倍数。

师：那又该怎样来说明“3的倍数要看各位上的数的和”的道理？你准备怎样来研究这个问题呢？

生：我觉得也可以找几个数试试，像刚才那样也把这些数拆开来，看有没有什么规律。

2、操作验证，明晰本质

师：真棒!能把刚学到的方法活学活用。那现在就让我们一起来完成学习单上的活动二。

出示：

活动二：分一分，想一想

以12为例，请你在下面的小棒上圈一圈，分一分，思考：3的倍数为什么可以用1+2=3来判断？

12=（  ）+（  ）

生：因为12=10+2,先分10根小棒，每3根分一份，分了3份，还剩下1根，将剩下的1根和个位上的2根合起来，正好分完，所以12就是3的倍数。

师：哦！也就是说，将10根小棒，3根3根地分，分掉了（  ）根，还剩下（  ）根。

生：分掉了9根，还剩下1根。

师：剩下的这1根怎么办？

生：把剩下的这1根和个位上的2根合起来，1+2=3，正好是3的倍数。

根据学生的回答，师板书：

12 =  10  + 2

  = 9 +  1 + 2

  3的倍数 3的倍数

师：1+2=3这里的“1”和12中的“1”表示的意思一样吗？

生：不一样，12中的1表示的是1个十，而这个1表示的是将10根小棒，每3根分一份后余下的一根。

3、说理论证，内化经验

师：你能根据这个图，说一说判断141是不是3的倍数，为什么可以用1+4+1=6来判断？

课件出示：

生：141=100+40+1,先分这100个方格，3个3个地分完99个还剩1个，再分这40个，每10个方格，3个3个地分后都会剩下1个，40个方格就会剩下4个，个位上还有1个，就用1+4+1=6，,6是3的倍数，所以141也是3的倍数 。

师：能试着用算式表示刚才的想法吗？

生尝试，指名板书：

141 = 100 + 40 + 1

    =99+1+4×9+4 +1

    = 99+4×9 + 1+4+1

3的倍数  3的倍数

出示： 369是3的倍数吗？你是怎么判断的？你能说一说你这样判断的道理吗？

生：369=300+60+9,3个3个地分， 每个100和每个10都会剩下1，所以300就剩下3，,60就会剩下6，个位上还有9，就用3+6+9=18，18是3的倍数，所以369也是3的倍数 。

生：每一位上的数都是3的倍数，这个数一定是3的倍数。因为369=300+60+9，300、60和9都是3的倍数，所以不用再算各位上数的和，直接就可以判断了。

  （三）比较沟通，理解原理。

师：比较2、5、3倍数的特征和它们的推理过程，你有什么发现吗？

生：2、5、3的倍数其实都与所有数位上的数有关，它们都是先将一个数拆成各个数位上的数的和，再看每个数位上的数是不是它们的倍数，是它们的倍数的数就不用再看，只用看剩下的数来判断就行。

生：我发现判断3的倍数时，要把各个数位上的数加起来，这些数其实表示的是每一位上的数分完后剩下的数，而判断2和5的倍数时，除了个位外，其余各位的数都正好分完了，没有剩下的数，也就是0+0+个位上的数，所以我觉得它们的倍数的特征其实在本质上是一样的。

三、全课小结，激发探究

师：这节课，我们重新探究了2、5、3的倍数的特征，通过本节课的学习，你有什么新的收获?

生答略。

师：其实数学探究本身就是一个不断猜想、验证、发现规律的过程，只有这样我们才会有新的发现。同学们课下也可以用今天学到的方法去找一找4、7、9等数的倍数特征，相信你们一定会有新的发现。