矩阵覆盖

考点：递归

题目描述

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

代码格式要求

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {

    }
}

解题一-递归

1.思路

涂掉最后一级矩形的时候，是用什么方式完成的？

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?answerType=1&f=discussion
来源：牛客网

• n = 1 的时候
  • 只能横着覆盖，一种
• n = 2 的时候
  • 可以横着和竖着覆盖，两种
• n = 3 的时候
  • 第三级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
  • 第三季竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 1，有一种覆盖方法
  • 总共有 3 种
• n = 4 的时候
  • 第 4 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 3，有三种覆盖方法
  • 第 4 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
  • 总共有 5 种方法
• n = n 的时候
  • 第 n 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = n - 1，所以关注第 n - 1 种有几种覆盖方法
  • 第 n 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = n - 2，所以关注第 n - 2 种有几种覆盖方法
  • 总和为两种情况的总和

从 n = 1 到 n = 4 的示意图如下：

image.png

所以回答上面的问题，涂掉最后一级矩阵的时候，可以选择使用横向完成，也可以使用竖向完成，横向涂剩下 n - 1 阶，竖向涂剩下 n - 2 阶
2.代码
1.思路

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if (target <= 2){
            return target;
        }
        int pre1 = 2; // n 最后使用一块，剩下 n-1 块的写法
        int pre2 = 1; // n 最后使用两块，剩下 n-2 块的写法
        for (int i = 3; i <= target; i++){
            int cur = pre1 + pre2;
            pre2 = pre1;
            pre1 = cur;
        }
        return pre1; //相对于 n+1 块来说，第 n 种的方法
    }
}

解题二-斐波那契数列

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

1.思路
关注 n - 1 与 n - 2 时的涂法有几种，这就是斐波那契数列，直接带入公式
2.代码

public int RectCover(int target) {
        if(target <= 0) return 1;
        if(target == 1 || target == 2) return target;
        return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
    }

解题三-动态规划

1.思路
利用动态规划，一共有n列，若从左向右放小矩形，有两种放置方式：
第一种：横着放，即占用两列。此时第二行的前两个空格只能横着放，所有，总的放置次数变为1+num(2(n-2))，其中2(n-2)代表两行n-2列的矩阵。
第二种：竖着放，此时有1+num(2*(n-1))，因此 利用动态规划求解

image.png

2.代码

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        int [] num = new int[target+1];
        if(target<=2){
            return target;
        }
        num[0]=0;
        num[1]=1;
        num[2]=2;
        for(int i=3;i<=target;i++){
            num[i] = num[i-1]+num[i-2];
        }
        return num[target];
    }
}