矩阵覆盖
考点：递归
题目描述
我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
代码格式要求
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
}
}
解题一-递归
1.思路
涂掉最后一级矩形的时候，是用什么方式完成的？
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?answerType=1&f=discussion
来源：牛客网
- n = 1 的时候
- 只能横着覆盖，一种
- n = 2 的时候
- 可以横着和竖着覆盖，两种
- n = 3 的时候
- 第三级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
- 第三季竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 1，有一种覆盖方法
- 总共有 3 种
- n = 4 的时候
- 第 4 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 3，有三种覆盖方法
- 第 4 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
- 总共有 5 种方法
- n = n 的时候
- 第 n 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = n - 1，所以关注第 n - 1 种有几种覆盖方法
- 第 n 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = n - 2，所以关注第 n - 2 种有几种覆盖方法
- 总和为两种情况的总和
从 n = 1 到 n = 4 的示意图如下：
image.png
所以回答上面的问题，涂掉最后一级矩阵的时候，可以选择使用横向完成，也可以使用竖向完成，横向涂剩下 n - 1 阶，竖向涂剩下 n - 2 阶
2.代码
1.思路
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
if (target <= 2){
return target;
}
int pre1 = 2; // n 最后使用一块，剩下 n-1 块的写法
int pre2 = 1; // n 最后使用两块，剩下 n-2 块的写法
for (int i = 3; i <= target; i++){
int cur = pre1 + pre2;
pre2 = pre1;
pre1 = cur;
}
return pre1; //相对于 n+1 块来说，第 n 种的方法
}
}
解题二-斐波那契数列
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
1.思路
关注 n - 1 与 n - 2 时的涂法有几种，这就是斐波那契数列，直接带入公式
2.代码
public int RectCover(int target) {
if(target <= 0) return 1;
if(target == 1 || target == 2) return target;
return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
}
解题三-动态规划
1.思路
利用动态规划，一共有n列，若从左向右放小矩形，有两种放置方式：
第一种：横着放，即占用两列。此时第二行的前两个空格只能横着放，所有，总的放置次数变为1+num(2(n-2))，其中2(n-2)代表两行n-2列的矩阵。
第二种：竖着放，此时有1+num(2*(n-1))，因此 利用动态规划求解
image.png
2.代码
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
int [] num = new int[target+1];
if(target<=2){
return target;
}
num[0]=0;
num[1]=1;
num[2]=2;
for(int i=3;i<=target;i++){
num[i] = num[i-1]+num[i-2];
}
return num[target];
}
}
