高考理数解析几何大题：江苏卷2011年到2020年

2011年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M、N$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+ \dfrac{y^2}{2} =1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P、A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ . 连接 $AC$ ，并延长交椭圆于点 $B$ . 设直线 $PA$ 的斜率为 $k$ .

（1）当直线 $PA$ 平分线段 $MN$ 时，求 $k$ 的值；
（2）当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ ；
（3）对任意的 $k \gt 0$ ，求证： $PA \perp PB$ .

2011年理数江苏卷题18

2012年理数江苏卷题19

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ . 已知点 $(1,e)$ 和 $(e, \dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A,B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $AF_1$ 与直线 $BF_2$ 平行， $AF_2$ 与 $BF_1$ 交于点 $P$ ，
（i）若 $AF_1-BF_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ . 求直线 $AF$ 的斜率；
（ii）求证： $PF_1+PF_2$ 是定值.

2012年理数江苏卷题19

2013年理数江苏卷题17

分值：14分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(0,3)$ , 直线 $l:y=2x-4$ . 设圆 $C$ 的半径为 $1$ ，圆心在 $l$ 上.

（1）若圆心 $C$ 也在直线 $y=x-1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线的方程；

（2）若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $MA=2OM$ . 求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

2013年理数江苏卷题17

2014年理数江苏卷题17

分值：14分

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点,顶点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$ , 连接 $BF_2$ 并延长交椭圆于点 $A$ , 过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交圆于另一点 $C$ , 连接 $F_1C$ .

（1）若点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3})$ , 且 $BF_2=\sqrt{2}$ , 求椭圆的方程;
（2）若 $F_1C \perp AB$ , 求椭圆离心率 $e$ 的值.

2014年理数江苏卷题17

2015年理数江苏卷题18

分值：16分

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 且右焦点 $F$ 到左准线 $l$ 的距离为 $3$ .

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点, 线段 $AB$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $AB$ 于点 $P,C$ . 若 $PC=2AB$ , 求直线 $AB$ 的方程.

2015年理数江苏卷题18

2016年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$ .

（1）设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程；

（2）设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC=OA$ ，求直线 $l$ 的方程；

（3）设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$ ，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

2016年理数江苏卷题18

2017年江苏卷题17

分值：14分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，离心率为 $\dfrac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 $8$ . 点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，且位于第一象限，过点 $F_1$ 作直线 $PF_1$ 的垂线 $l_1$ ，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线 $l_2$ .

（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）若直线 $l_1,l_2$ 的交点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，求点 $P$ 的坐标.

2017年江苏卷题17

2018年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\sqrt{3},\dfrac{1}{2}$ , 焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ , 圆 $O$ 的直径为 $F_1F_2$ ,

（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；

（2）设直线 $l$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ .

①若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标;

②直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点.若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac{2}{7}\sqrt{6}$ , 求直线 $l$ 的方程.

2018年理数江苏卷题18

2019年理数江苏卷题17

分值：14分

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ . 过 $F_2$ , 作 $x$ 轴的垂线 $l$ , 在 $x$ 轴的上方, $l$ 与圆 $F_2:(x-1)^2+y^2=4a^2$ 交于点 $A$ , 与椭圆 $C$ 交于点 $D$ . 连接 $AF_1$ 并延长交圆 $F_2$ 于点 $B$ . 连接 $BF_2$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ , 连接 $DF_1$ , 已知 $DF_1=\dfrac{5}{2}$ .
(1)求圆 $C$ 的标准方程；
(2)求点 $E$ 的坐标.

2019年理数江苏卷题17

2020年理数江苏卷题18

分值：16分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内, $AF_2 \perp F_1F_2$ . 直线 $AF_1$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ .