回顾一下函子的性质，他是一种保持范畴结构的映射，从定义域范畴到陪域范畴。
在这种基础上，可以根据函子对更高级结构的保持而定义出保持某种结构的函子，比如保持积结构的函子，保持等值子结构的函子，以及保持极限的函子，这些定义都是其实说了同一件事，当定义域范畴中存在某种结构时，这种结构经函子映射到陪域范畴时同样是陪域范畴的这种结构。
就像各种保持运算的映射一样，可以这样表示，类似于群同态对群乘法的保持
。一个重要的例子就是遗忘函子，
，这个函子显然是保持积结构的，两群直积，经函子作用后就是两群的基础集的笛卡尔积，所以，积结构经函子作用后仍然是积结构。
上面的是函子对结构的正向保持作用，自然我们就考虑到了函子对结构的反向保持作用，也就是说，对于陪域范畴中的某种结构，总能在定义域范畴中找到同种结构，经函子作用后正好是陪域范畴中的这个结构。就像连续映射的定义一样，对于，Y中的开集的逆象一定是X中的开集。这种作用被称为生成。
对结构的生成应该是比较奇妙的性质，因为一般都是前推后，很少有后推前。
同样我们考虑遗忘函子，已知，集合上有层级结构，或者说是一种序结构，通过空集和幂集映射，我们就能构造出这样的序，通常也被称为序数，前面的几个元素可以表示为
后一个序数总包含前面所有的序数。所以基于集合包含关系，全体序数构成一个全序关系。可以简写为0,1,2,3...
这样的结构就可以构造出一个极限，形式上就是一个序列极限。
根据前面学到的函子的生成关系，就得到了群的这样的序列极限。
对于有限序数而言，他的极限就和第一个无限序数有关，对应的就可以定义一个
。于是，群和群同态所组成的这样的群序列，就是由集合和幂集映射构成的这种序列结构生成出来的。
后面部分写的很吃力，看来对这部分还没有理解透彻。
