虚时间演化法 (imaginary-time propagation method) 计算本征态

\author{Qinghua Ke}

\date{2019, 09, 30}

数值求解含时薛定谔方程（Time-dependent Schr\"odinger equation, TDSE）需要给定初态，初态可以是本征态或者本征态的叠加。本征态计算可以通过虚时间演化的方法 [1] 得到，本文简单地介绍一下虚时间演化法（以二维为例）。

含时薛定谔方程（本文采用原子单位制），

$\begin{equation} i\frac{\partial}{\partial t} \psi(r, t)=\hat{H} \psi(r, t),\end{equation}$

其中哈密顿量（不含时） $\hat H=-\frac{1}{2}\nabla^2+V(r)$ ， $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ .

定态薛定谔方程 $\begin{equation} \hat H \varphi_i(r)=E_i \varphi_i(r),\end{equation}$ 其中 $\varphi_i(r)(i=0,1,2,3...)$ 是本征态，对应的本征能量是 $E_i$ ，不失一般性约定， $E_0\leq E_1\leq E_2\leq E_3\leq...$

令虚时间 $\tau=i t$ ，含虚时间的薛定谔方程可以写成，

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \tau} \psi(r, \tau)=-\hat{H} \psi(r, \tau).\end{equation}$ (*)

为了计算本征态，随机给一个初始态 $\psi_{arb}(r,0)，$ 则可以写成本征态的叠加 $\psi_{arb}(r,0)=\sum_i c_i\varphi_i(r)$ ， $c_i$ 是展开系数。 $\tau$ 时刻的波函数

$\begin{equation} \begin{split} \psi_{arb}(r,\tau)&=e^{-\hat H \tau}\psi_{arb}(r,0)=\sum_i c_i e^{-E_i \tau}\varphi_i(r)\\ &=e^{-E_0 \tau}[c_0 \varphi_0 + \sum_{i=1} c_i e^{-(E_i-E_0) \tau}\varphi_i(r)], \end{split}\end{equation}$

由于 $E_i-E_0\geq 0$ ，随着 $\psi_{arb}(r,\tau)$ 在方程 (*)下演化，相比较于 $\varphi_0，$ 其他态会衰减更快，最后只会留下基态。原则上讲，该方法也可以计算激发态，只需在计算过程中，波函数要减去波函数在低能量态上的投影即可。

[1] L. Lehtobaara, J. Toivanen and Eloranta, ``Solution of time-dependent Schr\"odinger equation by the imaginary time propagation method'', J. Comput. Phys. 221, 1 (2007)

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