黎曼研究几何的途径
高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶的工作提出了对物理空间欧几里得几何的质疑，推动了19世纪的重大创造——黎曼几何的产生，它的创立者是几何学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)。黎曼在几何领域追随高斯（他本来就是高斯的学生），在函数论追随柯西和阿贝尔，他对几何的研究也受心理学家赫尔巴特(Johann Friedrich Herbart,1776-1841)的影响。
高斯要求黎曼把几何基础作为其就职演说（大学讲师要取得大学教授资格需要做的演说）课题，1854年黎曼向哥廷根全体教员作了演讲，并在1868年以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。
为了竞争巴黎科学院的奖金，1861年黎曼写了一篇关于热传导的文章，常被称为《巴黎之作》，黎曼发现必须进一步考虑他关于几何的思想，在这里他对1854年的文章做了技术性加工。1861年这篇未获奖的文章在他去世后发表于1876年的文集中，在文集的第二版中，韦伯(Heinrich Weber,1795-1878,搞生理的，是搞电磁的那个韦伯的哥哥）在一篇注释中解释了黎曼高度压缩的题材。
黎曼提出的空间几何不只是高斯微分几何的推广，他重新考虑了研究空间的整个途径，对于物理空间我们可以确信什么？在通过经验确定物理空间中成立的特殊公理之前，在真实的经验空间必须预先假定什么条件或事实？黎曼的目的之一是要证明，欧几里得公理与其说是不言自明的，还不如说是经验性的，他采用了解析的方法，因为在几何证明中，由于我们的感觉，可能错误假定一些不是显然可以承认的事实。黎曼的思想是，从关于空间无疑是先验的东西出发，分析后导出必然的结论，可知空间的任何其它性质都是经验的。高斯也研究了相同的课题，但仅发表了论曲面的部分，黎曼对什么是先验的探讨导致他研究空间的局部性质，即微分几何，这和欧几里得几何或高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶的非欧几何把空间作为一个整体考虑是相对的。黎曼在1854年讲演以及原稿中表现的思想是模糊的，一个原因是要适应听众（哥廷根教员），也和他的哲学思想有关。
高斯关于欧几里得空间中曲面的内蕴几何学，开辟了一个广泛领域，黎曼对任一空间发展了一种内蕴几何。虽然三维情形显然很重要，但黎曼宁可处理n维几何，他把n维空间称为一个流形，n维流形中的一个点可以用n个可变参数x1,x2,...,xn的一组指定值表示，而所有这种可能的点的集合构成n维流形本身，正如在一个曲面上的所有点构成曲面本身一样。这n个可变参数就叫流形的坐标，当这些xi连续变化时，对应的点遍历了整个流形。
因为黎曼认为我们只能局部地了解空间，所以他从定义两个一般点之间的距离出发，这两个点的坐标相差无穷小，他假定距离的平方是其中gij是坐标x1,x2,...,xn的函数，gij=gji，且等式右边总是正的，这个表达式是欧几里得距离公式
的推广。他提出可假定ds是微分dx1,dx2,...,dxn的一个四次齐次函数的四个根中的一个，但没有深入研究这种可能性。由于允许gij是坐标的函数，所以黎曼的空间性质可逐点而异。
虽然黎曼在1854年论文未明确阐述下述定义，但在他心中是有的，因为它们等价于高斯对曲面所做的。黎曼流形上的一条曲线由n个函数:x1=x1(t),x2=x2(t),...,xn=xn(t)给定，于是在t=α和t=β之间的曲线长度定义为，两点之间的最短曲线——测地线随即可以变分法确定。用变分学记号，这就是适合条件
的曲线。取弧长s为参数，测地线方程可以证明为
，这是n个二阶常微分方程的方程组。
两条曲线在点(x1,x2,...,xn)处相交，一条曲线由方向dxi/ds决定，另一条由方向dxi'/ds'决定，两条曲线在交点处的交角θ由公式确定。仿照高斯对曲面的方法，可以推出一种度量的n维几何。所有度量性质由
表达式中的系数gij确定。
黎曼1854年论文第二个重要概念是流形曲率。黎曼企图用其刻画欧几里得空间和更一般的空间，在这种空间中图形可以挪动而不改变其形状或大小。黎曼关于任意n维流形曲率的概念是高斯总曲率概念的推广，和高斯的概念一样，流形曲率可用一些量定义，而这些量可以在流形自身上确定，从而无需想象流形位于某一更高维的流形中。
在n维流形中给定一点P，黎曼考虑在该点的一个二维流形，这个二维流形在n维流形中，由经过P点的无穷多条单参数测地线构成，这些测地线与流形的平面截口在P点相切，现在一条测地线可以用点P和在该点的一个方向描述，设dx1',dx2',...,dxn'是一条测地线的方向，而dx1'',dx2'',...,dxn''是另一条测地线的方向，则在P点的单参数无穷多条测地线中，任一条测地线方向的第i个分量由下式给出：，λ'和λ''要受条件
的限制，这个条件是由条件Σgij(dxi/ds)(dxj/ds)=1导出的。
这一组测地线构成一个二维流形，它有一个高斯曲率，因为经过P点的这种二维流形有无穷多个，所以在n维流形的一个点处有无穷多个曲率，但在这些曲率的测度中，可以从n(n-1)/2个推出其余的，于是推出曲率测度的一个式子。这是黎曼在1861年文章中完成的，对流形就是一个曲面的情形，黎曼的曲率就是高斯的总曲率，严格来说，和高斯的曲率一样，黎曼的曲率是一种加在流形上而非流形自身的度量性质。
黎曼完成n维几何的一般研究，并说明如何引入曲率后，进而考虑特定的流形，在这种流形上，有限的空间形式能够移动而不改变其大小或形状，并能按任意方向旋转，他由此引入常曲率空间。
当在一点所有曲率的测度都相同，且等于其它任何点的所有曲率的测度时，黎曼称之为常曲率流形。在这种流形上可以讨论全等的图形。黎曼在1854年文章中给出下述结果：如果α是曲率的测度，常曲率流形上无穷小距离元素公式变为（在一适当坐标系中）
黎曼认为曲率α必须≥0，当α>0时为球面空间，α=0时为欧几里得空间，反之亦然。他认为如果一个空间是无限伸展的，其曲率必须为0，然而他也提示过可能有现实的常数负曲率曲面。
对于α=a2>0，且n=3的情形，得到一种三维的球面几何，虽然不能把它形象化：这个空间在广度上有限但是无界，在其中所有测地线都是定长=2π/a，且回到它们自身，空间体积是$2π^2/a^3$。对a2>0,n=2的情形，得到通常的球面空间，测地线是大圆且是有限的，任意两条测地线交于两点，我们不清楚黎曼是否认为常数正曲率曲面上的测地线都交于一点或两点，他可能倾向于后者。Felix Klein指出这里涉及两种不同的几何。
