函数

前言

  • 注意一元与多元概念的不同点（比如：一元可导能推出连续，但是多元可导不能推出连续）

难点：

一元微分学

  • 递推型数列极限
  • 微分中值定理证明题

一元积分学

  • 定积分的等式不等式证明

多元积分学

  • 重积分
  • 线面积分

无穷级数

  • 常数项级数证明敛散性
  • 幂级数求和

基本运算（70%）

  1. 求极限
  2. 求导数
  3. 求积分

知识点

复合函数

反函数

初等函数

单调性

奇偶性

变上限积分是一个原函数，有关原函数的问题可以从它入手


证明：


证明
  1. 证明两个变限积分相等，要考虑变量代换
  2. 换完变量t，上下限也要换
这个依然对

因为：


周期性

左推右：


  • 周期函数一个周期内的积分值相同

右推左：


  • 奇周期函数周期内积分值为0

有界性

闭区间连续推出有界

如果控制一下端点的单侧极限：


有界性推广
  • 有界性推广的证明见李正元全书例1.41（利用极限的局部有界性即可证明）
导函数有限区间内有界则原函数有界
证明
导函数有界
  • 联系导数与函数：微分中值定理
  • 有界的证明，证绝对值小等于某值

题型

  • 有界性推广
  • α>0时, x^{α}>lnx
  • C项利用极限的局部保号性证明
A项的反例
  • 某点单调增：左邻域都比他小，右邻域都比他大
  • 这个题如果保证导函数在0处连续，那么A项也是对的，因为：

若f'(0)>0且在0处连续，那么就有：
\lim_{x \to 0} {f'(x)}= f'(0)>0\quad
根据极限的局部保号性，就有0附近邻域内导数都大于0，即可推出邻域内单调递增
反例显然不满足导函数0处连续

  • 法一：按定义证明
  • 法二：按照前面奇偶性的结论证明（注意这个变限积分的求导方法）
  • 注意不要求F(x)的二阶导数，因为题目没说f(x)可导
  • 利用积分中值定理

不用积分中值定理也可（两种方法）：


法一：利用积分不等式
  • x<0时同理
积分不等式
法二：化成统一的形式
  • 注意是对t的积分，x, f(x)都是常数，所以：

xf(x)=\int_0^xf(x)dt

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