n个相同的球的情况
把
个相同的球放入3个不同的盒子中。若限定每个盒子中的球数只能为偶数，试求放球方案数
。
解：
考虑盒子的数量和球的数量的关系。要使每个盒子中的球数量为偶数，首先必须是偶数，否则方案数为零。我们设
，其中
为整数。
将问题转化为一个生成函数的问题。生成函数的方法在组合数学中常用于解决此类分配问题。
考虑生成函数:
%20%3D%20(1%2Bx%5E2%2Bx%5E4%2Bx%5E6%2B%20%5Ccdots)%5E3)
这是因为每个盒子中的球数必须为偶数，所以每个盒子的生成函数为
，对于3个不同的盒子，这个生成函数的立方即为:
%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%5E2%7D%5Cright)%5E3%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x%5E2)%5E3%7D)
我们需要找到这个生成函数的
项的系数,因为我们设。将生成函数展开成幂级数:%5E3%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbinom%7Bk%2B2%7D%7B2%7Dx%5E%7B2k%7D)
其中，
是二项式系数，表示从
中选2的组合数。因此，系数是
。
所以，方案数就是:
将代回中，即
，最终得到:
因此，将个相同的球放入3个不同的盒子中，且每个盒子中的球数为偶数的方案数为:
这一结论适用于为偶数的情况，当为奇数时，方案数为零。
n个不同的球的情况
把个不同的球放入3个不同的盒子中。若限定每个盒子中的球数只能为偶数，试求放球方案数。
解：
一、当 为奇数时:
由于要求每个盒子中的球数只能为偶数，所以当为奇数时，无法满足条件，放球方案数为
。
二、当为偶数时:
设，其中为整数。
我们要将这些球放入3个盒子中，每个盒子中的球数都为偶数。设三个盒子中分别放
、
和
个球，其中
、
、
均为非负整数且
。
我们需要计算满足上述条件的方案数。
1.计算非负整数解的数量:
由于，非负整数解的数量为
。
2.每种分配方法下的具体分配方式:
对于每个盒子中的球数，我们需要从
个球里选出个球，然后再从剩下的球里选出个球，剩下的个球自动分配到第三个盒子里。因此，具体的分配方式数为组合数的乘积:
由于
，我们可以化简为:
综上，将这些组合数累加起来，我们得到:
结论
- 当 为奇数时，。
- 当为偶数时，设，则放球方案数为:
。
