在学期初，我们学习了二次根式。
在我们七年级的时候我们就已经学习了根式，但也只是了解了它的诞生，这一章我们主要聚焦的是“二次根式”的运算和应用。
首先我们回顾一下，为什么要发明根式？根式是什么？我们当时侯遇到的问题是，一个边长为1的单位正方形的对角线怎么表示？我们采用了割补的方法得了出来：
观察这个图，我们已经知道了第一个小正方形边长和面积都是1，而第二个正方形是由两个小正方形拼接起来的，所以面积是2。那么此时怎么表示它的边长呢，我们已经知道了边长乘边长等于面积。如果把边长看作x，就可以将第二个正方形的面积表示为，x²＝2。而这时我们为了表示x，就发明了根号“√”。x就可以表示为x＝√2。而根号就表示开方运算。
那么二次根式又是什么？首先肯定要包含根号，进行开方运算。其次就是开的是二次方。还有一条就是被开方数要是一个式子。我们举个例子，比如说√a，x²＝a，所以x＝√a，那么这里的a有没有限制？想一想如果是一个负数能开方吗？暂时还不行，所以我们暂时给a的限制是a≥0。根据上面的式子我们还可以得出（√a）²＝x²（a≥0），还可以得出√a²＝ | a | ，那么这里的a有限制吗？我们观察结果，因为a不管是正数还是负数a²都是正数，所以说结果a如果要保证a≥0，结果要是 | a | 。那么什么情况下要用绝对值，什么时候a就是正数？我们可以进行分类讨论：①a＞0时，√a²＝a。②a＝0时，√a²＝0。③a＜0时，√a²＝ | a | 。
那么二次根式怎么比大小？目前我们已知的就是如果被开方数更大，这个数就更大。
接下来就是运算，因为它本身做的是开方运算，所以我们首先先来看乘除。举个例子，比如说√3×√5，怎么办？我首先想到的办法是把他们整体乘方，把根号去掉。
这样就算出来了，我们再观察一下结果，会发现结果√15就是√3和√5被开方数乘积的开方运算。所以我们可以做一个猜想，√a×√b＝√ab。那么我们可不可以用同样的方式去证明它？
就这样我们就得出了二次根式的乘法公式。再根据同样的方式可以解决除法。
那么现在我们思考一个问题，√3/2×√3怎么解决。被开方数有了分数，得到的结果自然复杂了。如果用我们之前得到的结果去做的话，就是√9/2。这是最简的形式吗？显然不是，而且分子9也是一个完全平方数，那怎样才能化到最简呢？首先就是要把它其中的分母去掉。先变成√3/√2的形式，再根据分数的基本性质给分数分母和分子同时乘√2，这样分母就变成了一个有理数，而分子变成了√6整个数由√3/2变成了√6/2，再放到原来的式子里就可以得到最后的结果是√3/2×√3＝√18/2。这种去分母的方式叫做“分母有理化”。
接下来我们再来看加减运算。举个例子：
根据我们的已有经验我们可以很轻易的解决这两个问题，一个是把数开方后再进行运算，一个是把数当成单位1去计算。但是当我们遇到更复杂的组合该怎么办？比如√3+√27，这时该怎么办呢？这时就需要化简了。我们可以把√27看做√3×9，再根据二次根式的乘法公式将这个式子拆成√3×√9，√9可以开方为3，也就是3√3。这时3√3+√3就等于4√3。我们就可以这样化简计算了。知道化简之后我们的计算结果就要是最简的了，称为最简二次根式。最简二次根式有什么特征？①因数内不含完全平方数。②被开方数不为分数。③分母不含二次根式。之后不论是加减都采用先化简后计算的方式进行运算。
那么我们现在就探索完了二次根式的诞生比大小和运算，有了这一章的基础，我又有了更多新的问题，比如说有没有可能一个数的平方是负数？这就又引出了新的数系等着我去探索。
