根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解

根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解

类型三 根据二次项系数的符号分类

使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项

解题步骤：

第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；

第二步 分别求出其对应的不等式的解集；

第三步 得出结论.

【例】已知关于x的不等式ax^2-3x+2 > 0 (a \in R).

（1）若不等式ax^2-3x+2>0的解集为\{x|x<1或x>b\}，求a,b的值．

（2）求不等式ax^2-3x+2>5-ax(x \in R)的解集.

【解】（1）将x=1代入ax^2-3x+2 =0，则a=1，

\therefore不等式为x^2-3x+2 >0 即(x-1)(x-2)>0

\therefore不等式解集为\{x|x>2或x<1\}

\therefore b=2.

(2)不等式为ax^2+(a-3)x-3>0，即(ax-3)(x+1)>0

当a=0时，原不等式解集为\{x|x<-1\}；

当a \neq 0时，方程(ax-3)(x+1)=0的根为x_1=\dfrac{3}{a}，x_2=-1，

①当a>0时，\dfrac{3}{a}>-1，\therefore \{x |x > \dfrac{3}{a}或x<-1\}

②当-3 <a < 0时，\dfrac{3}{a}<-1，\therefore \{x | \dfrac{3}{a} <x <-1\}

③当a=-3时，\dfrac{3}{a}=-1，\therefore \varnothing

④当a<-3时，\dfrac{3}{a}>-1，\therefore \{x | -1<x<\dfrac{3}{a} \}，

综上所述，原不等式解集为

①当a>0时，\{x |x > \dfrac{3}{a}或x<-1\}

②当-3 <a < 0时，\{x | \dfrac{3}{a} <x <-1\}

③当a=-3时，\varnothing

④当a<-3时，\{x | -1<x<\dfrac{3}{a} \}，

⑤当a=0时，\{x|x<-1\}.

【总结】
（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知ax^2-3x+2 =0的两根为x=1或x=b，且a>0，根据根与系数的关系，即可求出a,b的值．
（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为(ax-3)(x+1)>0，然后通过对参数a进行分类讨论，即可求出不等式的解集．

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