2024-03-17

和差化积公式在极限中的应用

三角函数和差化积公式\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}

1.求证\lim_{n\rightarrow\infty}\sin n不存在

Hint:运用反证法。

事实上，区间[-1,1]中的每个点都是数列\{\sin n\}_{n=1}^{\infty}的聚点，也即对任意给定的l\in[-1,1]，总可以找到子列\{\sin n_k\}_{n_k=1}^{\infty}使得\lim_{n\rightarrow\infty}\sin n_k=l。

2.运用上述和差化积公式，证明\lim_{n\rightarrow\infty}(\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n})=0

3.运用上述和差化积公式，证明函数f(x)=\sin x在任意一点x_0处连续，即\lim_{x\rightarrow x_0}\sin x=\sin x_0

七种未定式

四种四则运算形式

\infty-\infty,0\cdot\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}
\infty-\infty通过通分，也归结为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}这两种

三种指数形式

1^{\infty},0^0,{\infty}^0

我们已经知道了1^{\infty}型未定式的一个例子，\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
尝试计算：
\lim_{x\rightarrow 0}x^x（0^0型）
\lim_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}（\infty^0型）

Hint：考虑取对数。

比较各种无穷大的快慢

之前学过，无穷大之间增长速度的比较有如下排序：
\ln x <<x^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^x(其中a>1)
越往左越小（增长越慢），越往右越大（增长越快）。

可以发现，指数函数是我们目前接触到的里，增长至无穷最快的，那么有比指数函数更快的吗？

1.证明
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^n}{n!}=0
因此阶乘n!比指数a^n(a>1)快。

2.证明
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n^n}=0
因此n^n比阶乘n!快。

事实上有更精致的排序：

\ln\ln n<<\ln n<<n^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^n(其中a>1)<<n!<<n^n

\ln\ln x<<\ln x<<x^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^x(其中a>1)<<\Gamma(x)<<x^x

其中\Gamma(x)是阶乘n!在自变量取值于实数\mathbb{R}时的推广，即当x取整数n+1时，有\Gamma(n+1)=n!

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