上个星期三，长葛市教研室来到石象镇中心小学调研，马巧玲主任亲自给我们年轻的伽晓佳老师指导了一节课，这节课是五年级上册数学广角《植树问题》。
其实在这之前，我们学校数学组刚好对四年级上册和五年级上册数学广角进行了教材分析，满以为我们分析得差不多透彻了，并且突破了植树棵数和间隔数之间的关系这个难点。我还建议搞清棵数与间隔数关系之前一定要搞清小路总长，间隔长度和间隔数之间的关系，并且把它们三者的关系突出到和难点并行的高度，当时也并没有感觉有什么问题。
马主任的指导，让我的认知从浅显走向深入，评课的过程中，马主任说它们三者之间的关系实际是二年级所学的“包含除”，此处是旧知迁移到新知上来，不用花过多时间，学生有基础在。学生的知识起点在哪儿，显然我是没有搞清楚的，“包含除”这个除法里被我忽略的概念突然让我为之一振，评课结束之后，我第一时间百度了一下包含除的意义：除法源自乘法，是乘法的逆运算。在乘法中，每份数×份数=总数。除法是把整体平均分的方法，在平均分的过程中，总数÷份数，求每份数的含义我们叫做“平均分”，而总数÷每份数，求份数的含义，便是所谓的“包含除”。这种触及本质的理解，刷新了我对除法的认知——除法的概念，其实包含了两层意思。
第一层是我们熟知的“平均分”。例如9÷3，是把9块巧克力平均分给3个人。
但如果是“9 ÷ 1/3”呢？把9块巧克力平均分给1/3个人，说不通啊。这就来到了除法的第二层意思: 包含除。
9÷3，也可以理解为，9里面包含了几个3。这样，“9÷1/3”就说的通了。1里面有几个1/3呢？图一画就很清楚了。9里面有几个1/3?
1里面有3个1/3，9个1里面当然就有“9×3”个1/3了。当孩子透彻理解了除法的两层含义，并不需要知道分数除法的运算法则，就能用逻辑推理出答案。
而且，将来可以很轻松的理解:
9 ÷ 1/3 = 9× 3
而不需要死记硬背“除以一个分数，就等于乘它的倒数”了。
那些硬着头皮去让孩子记一堆名词、法则的青涩日子，都是因为没有真正理解计算是什么。
计算到底是什么呢？
计算其实是在“概念”基础上进行的逻辑推理。
真是听君一席话 ，胜读十年书，教学需要沉潜，只有深入到知识内部，搞清知识与知识之间的联系，搞清学生的知识起点，才能把学生带到一定的高度！
