一、古典概型
1.随机试验
若试验满足以下条件：
(1) 试验可在相同条件下重复进行；
(2) 试验的结果具有很多可能性；
(3) 试验前不能确切知道会出现何种结果， 只知道所有可能出现的结果.
这样的试验叫作随机试验， 简称试验， 记为E
2.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。常记为A, B, C, ••••
3.基本事件、 必然事件、 不可能事
由一个样本点组成的单点集， 称为基本事件， 基本事件也叫样本点.
样本空间包含所有样本点.
在每次试验中总是要发生的事件， 称为必然事件.
每次试验中一定不发生的事件， 称为不可能事件， 记为
4.概率的定义
随机事件A发生的可能性大小的度量值称为事件A的概率， 记为P(A)
一次试验中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件.三种事件都是在 “一定条件下” 发生的， 当条件改变时， 事件的性质也可以发生变化
5.概率的性质
- 设有有限个两两互斥的事件
,则
- 设
是A的对立事件，则
6.古典概型
随机试验E具有以下两特征：
- 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个；
- 每个基本事件出现的可能性是相等的.
则称E为古典概型试验
7.计算公式
在古典概型的情况下，事件A的概率定义为：
对于古典概率， 需要用排列组合分别计算分子和分母的情况数， 然后用比值表示发生的概率.
古典概型的分母相当于总情况数， 比较容易求解， 分子求解难度较大
总结：
- 随机试验的所有结果，每个结果称为基本事件（元素）
- 将所有的结果（基本事件-元素），放到一个集合中 为 样本空间
- 样本空间的子集 称为 随机事件（集合）（每个子集内部的元素是有限个而且是确定的）
- 不可能事件：空集
- 必然事件：全集
- 随机事件的关系：子集和子集之间的关系
- 互斥事件：子集和子集之间没有交集
- 对立事件：反面求解（补集思想）
二、独立事件
如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率， 则称这两个事件是相互独立的
,则称两个事件A和B是相互独立的.
相互独立事件同时发生的概率=每个事件发生的概率相乘.
常用结论:
- 如果事件
相互独立， 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件
发生的概率的积, - 如果事件
不发生的概率的积, - 如果事件
从其反面求解， 它等于1减每个事件都不发生的概率的积，
两个独立事件模版：甲乙成功的概率分别为
- 甲乙都成功的概率：
- 甲乙都不成功的概率：
- 甲乙至少有一个成功的概率：
- 甲乙恰有一个成功的概率：
三个独立事件模板:甲乙丙成功的概率分别为
- 三人都成功的概率：
- 三人都不成功的概率：
- 三人至少有一个成功的概率：
- 恰有两个人成功的概率：
- 至多有两人成功的概率：
三、古典概率
1.取样古典概率
3黑3白取两球
- 一次取一黑一白：
- 逐次不放回的取一黑一白：
- 逐次放回的取一黑一白:
一次取和不放回的逐次取概率相等
2.分房古典概率
1.房间可空
如果房间可空(房间中的人数无限制)， 则需要用方幕法，
公式为： m个人去n个房间， 有种方法.
分母：方幂法，识别元素和对象，对象作为底数，元素作为次数
分子：固定房间，对着房间（对象）选人（元素）
- 先选房--若房间指定，则不需要选取
- 再选人--若人指定，则不选人
- 人排序--n个人去n个房间
，只有一个房间，则直接将人放入即可
- 其余人如果没有要求，继续方幂
2.房间不可空
如果房间不可空(或房间中的人数有限制)， 则需要先分堆（重复的堆要记得消序）， 再排序， 此时不能用方幕法。
- 对于试密码的考题， 第k次尝试成功意味着前k-1次没有成功
四、伯努利公式
1.独立重复试验
在相同条件下， 将某试验重复进行n次， 且每次试验中任何一事件的概率不受其他次试验结果的影响， 此种试验称为n次独立重复试验.
2.伯努利公式
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
特殊情况
- k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为
- k=0时，即在n次独立重复试验中事件A没有发生， 概率为
应用：对于多次或多个对象的独立事件， 当每次概率相同时， 可以套伯努利公式求解
