概率初步

一、古典概型

1.随机试验

若试验满足以下条件：
(1) 试验可在相同条件下重复进行；
(2) 试验的结果具有很多可能性；
(3) 试验前不能确切知道会出现何种结果，只知道所有可能出现的结果.
这样的试验叫作随机试验，简称试验，记为E

2.随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。常记为A, B, C, ••••

3.基本事件、必然事件、不可能事

由一个样本点组成的单点集，称为基本事件，基本事件也叫样本点.
样本空间包含所有样本点.
在每次试验中总是要发生的事件，称为必然事件.
每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为 $\emptyset$

4.概率的定义

随机事件A发生的可能性大小的度量值称为事件A的概率，记为P(A)

一次试验中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件.三种事件都是在 “一定条件下” 发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化

5.概率的性质

设有有限个两两互斥的事件 $A_1,A_2,A_3,...A_n$ ,则 $P(\cup^n_{i-1} A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$
设 $\overline{A}$ 是A的对立事件，则 $P(\overline{A})=1-P(A)$

6.古典概型

随机试验E具有以下两特征：

样本空间的元素(即基本事件)只有有限个；
每个基本事件出现的可能性是相等的.

则称E为古典概型试验

7.计算公式

在古典概型的情况下，事件A的概率定义为：
$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数k}{样本空间中基本事件总数n}$

对于古典概率，需要用排列组合分别计算分子和分母的情况数，然后用比值表示发生的概率.
古典概型的分母相当于总情况数，比较容易求解，分子求解难度较大

总结：

随机试验的所有结果，每个结果称为基本事件（元素）
将所有的结果（基本事件-元素），放到一个集合中为样本空间
样本空间的子集称为随机事件（集合）（每个子集内部的元素是有限个而且是确定的）
不可能事件：空集
必然事件：全集
随机事件的关系：子集和子集之间的关系
互斥事件：子集和子集之间没有交集
对立事件：反面求解（补集思想） $1-P(A)$

二、独立事件

如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率，则称这两个事件是相互独立的
$若P(AB) =P(A)P(B)$ ,则称两个事件A和B是相互独立的.

相互独立事件同时发生的概率=每个事件发生的概率相乘.

常用结论:

如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件
发生的概率的积, $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)·P(A_2)·....·P(A_n)$
如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互独立，那么这n个事件都不发生的概率等于每个事件
不发生的概率的积, $P(\overline{A_1}\overline{A_2}....\overline{A_n})=P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2})·....·P(\overline{A_n})$
如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互独立，那么这n个事件至少有一个发生的概率,可以
从其反面求解，它等于1减每个事件都不发生的概率的积， $P(A_1+A_2+...+A_n)=1-P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2})·....·P(\overline{A_n})$

两个独立事件模版：甲乙成功的概率分别为 $p_1和p_2$

甲乙都成功的概率： $p_1·p_2$
甲乙都不成功的概率： $(1-p_1)·(1-p_2)$
甲乙至少有一个成功的概率： $1-(1-p_1)·(1-p_2)$
甲乙恰有一个成功的概率： $p_1·(1-p_2)+p_2·(1-p_1)$

三个独立事件模板:甲乙丙成功的概率分别为 $p_1,p_2,p_3$

三人都成功的概率： $p_1·p_2·p_3$
三人都不成功的概率： $(1-p_1)·(1-p_2)·(1-p_3)$
三人至少有一个成功的概率： $1-(1-p_1)·(1-p_2)·(1-p_3)$
恰有两个人成功的概率： $p_1·p_2·(1-p_3)+p_1·p_3·(1-p_2)+p_2·p_3·(1-p_1)$
至多有两人成功的概率： $1-p_1·p_2·p_3$

三、古典概率

1.取样古典概率

$取样方式 = \begin{cases} 逐次取样 \begin{cases} 有放回取样：样本不变 C_n^1C_n^1C_n^1...\\ 无放回取样：样本逐一减少C_n^1C_{n-1}^1C_{n-2}^1...\ \end{cases} \\ 一次取样：所取元素不考虑顺序 C_n^m\\ \end{cases}$