线性空间的维度与基

张成一个线性空间所需的最少元素个数称为该空间的维度(dimension)，一般用dim表示。而这一组元素称为一组基。

一组基中的各个元素一定是线性独立的，否则，在去掉某个与其他元素线性相关的元素后，其余元素仍然可以张成该线性空间。这就是说，在这组元素中存在“多余”的元素，不满足基的定义中“最少元素”的要求。基的线性独立性，可以等价表示为：

对于一组基 $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ ，满足： $c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=0\Leftrightarrow c_1=c_2=...=c_n=0$ .

若不然，假设 $c_1\neq 0$ ，那么 $v_1=(c_2v_2+c_3v_3+...+c_nv_n)/(-c_1)$ ，可见 $v_1$ 可以由 $v_2,v_3,...,v_n$ 线性表出，这与 $v_1,v_2,...,v_n$ 线性独立矛盾。

由于基中元素彼此线性独立，因此一组基不包含零元。其次，基的选取可以是不唯一的。

例如x的3次多项式构成的线性空间 $P^3=\{c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3\}$ ， $P^3$ 的一组基可以是： $\{1,x,x^2,x^3\}$ .不难看出，它们可以张成 $P^3$ 空间。又因为若对于任意x， $c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3=0$ 都成立，只可能 $c_0=c_1=c_2=c_3=0$ ，因此这一组元素彼此也是线性独立的。

对于某个线性空间V，当给定一组基 $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ 后，对于任意V中的元素x，存在唯一的一组系数 $\{c_1,c_2,...c_n\}$ ，使得 $x=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n$ .可以利用反证法证明：

假设存在两组不完全相同的系数 $c_1,c_2,...c_n$ 和 $d_1,d_2,...d_n$ ，使 $x=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=d_1v_1+d_2v_2+...+d_nv_n$ .于是有 $(c_1-d_1)v_1+(c_2-d_2)v_2+...+(c_n-d_n)v_n=0$ .又因为 $v_1,v_2,...,v_n$ 是一组线性独立的基，根据前面的论证，有 $c_1-d_1=c_2-d_2=...=c_n-d_n=0$ .这就与 $c_1,c_2,...c_n$ 和 $d_1,d_2,...d_n$ 不完全相同矛盾。因此V中元素的基展开是唯一的。

由基展开的唯一性，当 $b\in C(A)$ ，且矩阵A的列矢量线性独立（即构成C(A)的一组基）时，方程Ax=b有唯一解。

里绘的笔记～线性空间～

下面介绍线性子空间的维度与基。

若W是V的子空间，则dim(W)≤dim(V).同样可以利用反证法证明：

在W中取一组基 $\{w_1,w_2,...,w_m\}$ ，在V中取一组基 $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ .

假设dim(W)>dim(V)，那么张成它们的一组基的个数对应有m>n.

由于 $W\subseteq V$ ，有 $w_1,w_2,...,w_m\in V$ .

构造矩阵 $W_0=[\ w_1 \ w_2 \ ...\ w_m]$ 和 $V_0=[~v_1~v_2~...~v_n]$ ，于是对于 $W_0$ 中的任意列矢量，都可以通过对 $V_0$ 进行列组合得到。即存在某个矩阵 $A_{n*m}$ ，使得 $W_0=V_0A$ .

由于 $W_0$ 的列矢量线性独立，因此方程 $W_0x=0$ 成立当且仅当x=0.同理 $V_0Ax=0$ 成立当且仅当Ax=0.因此，若Ax=0，则 $V_0Ax=0$ ，即 $W_0x=0$ ，当且仅当x=0.也就是Ax=0当且仅当x=0.这说明了矩阵A的列矢量也是线性独立的。

而我们知道，A的规格是n*m，且m>n，这就说明A的列矢量一定没有办法做到线性独立。这就产生了矛盾。

因此m≤n，即dim(W)≤dim(V).

在上述证明中， $W_0=V_0A$ 这个式子本身是正确的。根据之前的笔记《矩阵的四个基本子空间》中的结论，有： $C(W_0)\subseteq C(V_0)$ ，根据上面的论证，这同时说明了 $dim(C(W_0))\leq dim(C(V_0))$ .

对矩阵 $A_{m*n}$ ，因为 $C(A)\subseteq R^m$ ， $R(A)\subseteq R^n$ ，所以有 $dim(C(A))\leq m$ ， $dimR(A)\leq n.$

对于一个矩阵A来说，方程Ax=0的通解可以写成以x中的自由变量为参数的形式。并且由于每一个自由变量对应的矢量一定是线性独立的，因此x=0当且仅当所有自由变量的值取0.

因此，在矩阵A中去掉自由变量对应的列矢量，相当于将其通解中的自由变量全部取0，那么其通解为x=0.也就是说，经过删去自由变量对应的列矢量后得到的矩阵A'满足A'x=0只有x=0这一平凡解，即A'的列矢量线性独立。

故A'中的列矢量能够张成C(A)，且是C(A)的一组基。

如果我们能从 $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ 中挑出一部分线性无关的矢量，使它们能张成原矢量组所张成的空间 $span\{v_1,v_2,...,v_n\}$ ，则称挑出的一部分矢量是一组极大线性无关组。

由上述论证容易看出，构造矩阵 $V=[v_1 ~v_2~...~v_n]$ ，对V进行初等行变换确定自由变量，删去自由变量所对应的列矢量，剩下的矢量即为一组极大线性无关组。

例如，要求 $\alpha _1=[1~-1~~2~~4]^T$ ， $\alpha _2=[0~~3~~1~~2]^T$ ， $\alpha _3=[3~~0~~7~~14]^T$ ， $\alpha _4=[1~-2~~2~~0]^T$ ， $\alpha _5=[2~~1~~5~~10]^T$ 的极大线性无关组，可以有如下方法：

构造矩阵 $A=$ $[\alpha _1~\alpha _2~\alpha _3~\alpha _4~\alpha _5]=$ $%bmatrix \begin{bmatrix} 1&0&3&1&2 \\ -1&3&0&-2&1\\2&1&7&2&5\\4&2&14&0&10 \end{bmatrix} \qquad$ ，经过初等行变换化简，得矩阵 $%bmatrix \begin{bmatrix} %中括号 1&0&3&1&2\\0&1&1&0&1\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \qquad$ ，自由变量对应的列为 $col_3$ 和 $col_5$ ，因此剩下的矢量为一组极大线性无关组，即一组极大线性无关组为： $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _4.$