张成一个线性空间所需的最少元素个数称为该空间的维度(dimension)，一般用dim表示。而这一组元素称为一组基。
一组基中的各个元素一定是线性独立的，否则，在去掉某个与其他元素线性相关的元素后，其余元素仍然可以张成该线性空间。这就是说，在这组元素中存在“多余”的元素，不满足基的定义中“最少元素”的要求。基的线性独立性，可以等价表示为：
对于一组基
，满足：
.
若不然，假设，那么
，可见
可以由
线性表出，这与
线性独立矛盾。
由于基中元素彼此线性独立，因此一组基不包含零元。其次，基的选取可以是不唯一的。
例如x的3次多项式构成的线性空间，
的一组基可以是：
.不难看出，它们可以张成
空间。又因为若对于任意x，
都成立，只可能
，因此这一组元素彼此也是线性独立的。
对于某个线性空间V，当给定一组基后，对于任意V中的元素x，存在唯一的一组系数
，使得
.可以利用反证法证明：
假设存在两组不完全相同的系数
和
，使
.于是有
.又因为
是一组线性独立的基，根据前面的论证，有
.这就与
由基展开的唯一性，当，且矩阵A的列矢量线性独立（即构成C(A)的一组基）时，方程Ax=b有唯一解。
下面介绍线性子空间的维度与基。
若W是V的子空间，则dim(W)≤dim(V).同样可以利用反证法证明：
在W中取一组基
，在V中取一组基
假设dim(W)>dim(V)，那么张成它们的一组基的个数对应有m>n.
由于
，有
.
构造矩阵
和
，于是对于
中的任意列矢量，都可以通过对
进行列组合得到。即存在某个矩阵
，使得
.
由于
成立当且仅当x=0.同理
成立当且仅当Ax=0.因此，若Ax=0，则
而我们知道，A的规格是n*m，且m>n，这就说明A的列矢量一定没有办法做到线性独立。这就产生了矛盾。
因此m≤n，即dim(W)≤dim(V).
在上述证明中，这个式子本身是正确的。根据之前的笔记《矩阵的四个基本子空间》中的结论，有：
，根据上面的论证，这同时说明了
.
对矩阵，因为
，
，所以有
，
对于一个矩阵A来说，方程Ax=0的通解可以写成以x中的自由变量为参数的形式。并且由于每一个自由变量对应的矢量一定是线性独立的，因此x=0当且仅当所有自由变量的值取0.
因此，在矩阵A中去掉自由变量对应的列矢量，相当于将其通解中的自由变量全部取0，那么其通解为x=0.也就是说，经过删去自由变量对应的列矢量后得到的矩阵A'满足A'x=0只有x=0这一平凡解，即A'的列矢量线性独立。
故A'中的列矢量能够张成C(A)，且是C(A)的一组基。
如果我们能从中挑出一部分线性无关的矢量，使它们能张成原矢量组所张成的空间
，则称挑出的一部分矢量是一组极大线性无关组。
由上述论证容易看出，构造矩阵，对V进行初等行变换确定自由变量，删去自由变量所对应的列矢量，剩下的矢量即为一组极大线性无关组。
例如，要求，
，
，
，
的极大线性无关组，可以有如下方法：
构造矩阵
，经过初等行变换化简，得矩阵
，自由变量对应的列为
和
，因此剩下的矢量为一组极大线性无关组，即一组极大线性无关组为：
显然，一个矩阵列矢量的一组极大线性无关组是其列空间的一组基。因此，矩阵列空间的维度与其阶梯形式的主元个数是相等的。
将矩阵转置，进行同样的操作，便可以同理得到：矩阵行空间的维度也等于其阶梯形式的主元个数。
而对于零空间来说，由于任意Ax=0的解都可以用自由变量为参数的形式表示，因此矩阵的零空间维度等于其自由变量的个数。由此我们得到矩阵的零化度定理：
dimN(A)=#自由变量=#A的列-#主元=#A的列-dimC(A)=#A的列-dimR(A).
并且可以看出，零空间的一组基正是Ax=0通解中的矢量。
对于左零空间来说，只要把矩阵转置，则与确定零空间维度类似，它的维度是A的行数-主元个数。
