博弈论学习2——贝叶斯博弈

定义

作为一种战略博弈，贝叶斯博弈有两个基本元素：参与人集合 $N$ 和行动集合 $A_i$ ，为了建模不确定性，引入自然状态集合 $\Omega$ ，其中元素为对参与人相关特征的描述。 $\Omega$ 有概率测度 $p_i$ ，每个人有对于某个自然状态下的先验概率。

注意，这里的定义中，每个自然状态对于每个人视角的先验概率可能是不一样的，但一般来说，相等或者有关联性。

信号函数： $t_i=\tau_i(\omega)$ 表示自然状态为 $\omega$ 发生后，在每个人选择他行动之前，第 $i$ 人观察到的信号。 $T_i$ 表示为 $\tau_i$ 的所有可能值的集合，称之为类型集合，每一个 $\forall t_i\in T_i,p_i(\tau_i^{-1}(t_i))>0$ （这里表示第 $i$ 人已经观察到信号 $t_i$ 之后， $t_i$ 对应的自然状态集合中的状态的发生的先验概率当然应该是正的，是0的话，认为第 $i$ 个人无法收到 $t_i$ ）。如果参与人 $i$ 收到信号 $t_i\in T_i$ ，那么能推断出状态在 $\tau_i^{-1}$ 中，那么就实现了状态的后验概率，赋予了每一个状态概率 $p_i(\omega)/p_i(\tau_i^{-1}(t_i))$ （也就是对于 $i$ 已知 $t_i$ 之后， $\omega$ 发生过的后验概率）。这里如果 $\omega\not\in \tau_i^{-1}(t_i)$ ，当然应该赋予0。

例如，对所有 $\omega\in \Omega$ ，若 $\tau_i(\omega)=\omega$ ，那么参与人能够拥有关于自然状态的全部信息。又比如 $\Omega=\times_{i\in N} \tau_i$ ，并且对每个人测度 $p_i$ 是 $\Omega$ 上的乘积测度，同时 $\tau_i(\omega)=\omega_i$ ，则参与人能获得自己那部分自然状态，每个人的自然状态分量/信号是独立的而且每个人不能获得其他人的自然状态。

每个人关心他的行动组合，还有自然状态/信号。由于他只有关于自然状态的不完全信息，即使他掌握了所有自然状态下每个人的反应，依旧没有办法确定自己应该怎么做。

一个贝叶斯博弈包括：

有限集合 $N$ （参与人集合）
有限状态集合 $\Omega$

对每个参与人 $i\in N$ 有

集合 $A_i$ （有效行动集合）
信号集合 $T_i$ 和函数 $\tau_i:\Omega\to T_i$
$\Omega$ 上的一个概率测度 $p_i$ （参与人 $i$ 的先验概率），必须满足对所有 $t_i\in T_i$ 有 $p_{i}\left(\tau_{i}^{-1}\left(t_{i}\right)\right)>0$
一个关于 $A\times \Omega$ 上的概率测度集合的偏好关系 $\succsim_i$ ，这里 $A=\times_j\in N A_j$

另外注意有时描述贝叶斯博弈并不涉及暗含的状态空间 $\Omega$ ，而是描述成“简化形式”：参与人信息相关的基本元素是可能类型集合的组合。

贝叶斯博弈的纳什均衡：考虑将贝叶斯博弈 $<N,\Omega,A,T,\tau,p,\succsim>$ 的纳什均衡定义成一个战略博弈 $G^*$ 的纳什均衡， $G^*$ 的参与人被定义为 $i\in N$ 和 $t_i\in T$ 的组合 $(i,t_i)$ （具有类型 $t_i$ 的参与人 $i$ ），他的行动集合为 $A_i$ 。这样行动组合为 $\times_{j\in N}(\times_{t_j\in T_j}A_j)$ 。偏好如下定义：在 $G^*$ 中参与人 $(i,t_i)$ 偏好行动组合 $a^*$ 优于行动组合 $b^*$ ，等价于：参与人 $i$ 在贝叶斯博弈中对不确定事件 $L_i(a^*,t_i)$ 的偏好优于 $L_i(b^*,t_i)$ 。注意，这里 $L_i(a^*,t_i)$ 的概率定义为发现 $t_i$ 之后的对 $i$ 的后验概率（见上）。但是偏好的定义这里和概率无关。只有决策时，也就是求不确定事件的偏好时，才会用到概率求期望。

案例

二阶拍卖

考虑二阶拍卖的一个贝叶斯变形。也就是每个人知道自己对于物品的估价，但是不能确定别人的估价。作为特例，假定可能估价集合是有限集合 $V$ 以及每个参与人都相信任何一个其他参与人独立做出的估价都是从 $V$ 上的同一分布出发的。则可以建模为贝叶斯博弈模型：

参与人集合 $N={1,...,n}$
状态集合 $\Omega=V^n$
参与人行动集合 $A_i=R_+$
$i$ 收到的信号集合 $T_i$ 是 $V$
$i$ 的信号函数 $\tau_i$ 定义为 $\tau_i(v_1,v_2,..v_n)=v_i$ ，也就是自己的估价
先验概率 $p_i$ 为 $V$ 上的某个概率分布， $p_{i}\left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right)=\Pi_{j=1}^{n} \pi(v_i)$
偏好关系：对于某个人出价最高，那么值为 $v_{i}-\max _{j} \in _{N \backslash\{i\}} a_{j}$ ，否则为 $0$

这个博弈的纳什均衡为，每个人都提出自己的估价。这是因为提出更高的价格，自己价值函数的期望更大；但也不会超过自己的预期定价，因为自己如果提高价格，而他人都提出了自己的估价，那么自己本来投不到的即使变成了投到了，还要额外付出代价，价值函数期望不会升高。

过度消息可能会导致的损害（感谢BZB和LX提供了这个例子）

情形1

图片.png

博弈的收益矩阵如上，参与人1选择行 $\{T,B\}$ ，参与人2选择列 $\{L,M,R\}$ ，状态集合为 $\Omega=\{A,B\}$ ，两个参与人有共同的先验概率分布 $p(A)=p(B)=\frac{1}{2}$ 。

参与人信号集合为 $T_1=\{0,1\},T_2=\{0\}$ ，两人的信号函数如下：
$\begin{aligned} &\tau_{1}(A)=0, \tau_{1}(B)=1\\ &\tau_{2}(A)=\tau_{2}(B)=0 \end{aligned}$
换句话说信号对于参与人2，没有意义。

这个博弈有一个唯一的纳什均衡：
$\sigma_{1}(0)=\sigma_{1}(1)=B ; \sigma_{2}(0)=M$
下面仅对于 $\sigma_{2}(0)=M$ 做出解释：

由于对于参与人2，信号无帮助，因此他看来，仍有
$P\left(w=A | \tau_{2}(w)=0\right\}=\left|\left(w=B | \tau_{2}(w)=0\right)=\frac{1}{2}\right.$
在参与人1选择B时，对于2，选择L，期望为6，选择M时，期望为7，选择R时期望为6。