一、梯度下降****梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数J(θo,θ1)的最小值。
梯度下降算法中要做的就是不停地一点点改变θo和θ1，直到J成为最小值或局部最小值。通常将θo和θ1的初始值设为0。梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合(θo, θ1, ......, θn)，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。
想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转360度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。
批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：
其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大（或者理解成“步长”），在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。上面的（for j = 0 and j = 1）是指同时对θo和θ1处理。
在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新θo和θ1，当j=0和j=1时，会产生更新，所以你将更新J(θo)和J(θ1)。实现梯度下降算法的微妙之处是，在这个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新θo和θ1，我的意思是在这个等式中，我们要这样更新：
θo:=θo，并更新θ1:=θ1（:=表示赋值；=表示判断是否相等）
实现方法是：你应该计算公式右边的部分，通过那一部分计算出的θo和θ1值，然后同时更新θo和θ1。像下图这样不同时更新的做法是错误的：
二、梯度下降的直观理解
梯度下降算法如下：
描述：对θ赋值，使得J(θ)按梯度下降最快方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最小值。其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大（多大的步长）。
求导的目的，基本上可以说取这个红点的切线，就是这样一条红色的直线，刚好与函数相切于这一点，这条刚好与函数曲线相切的直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度，现在，这条线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的θ1，θ1更新后等于θ1减去一个正数乘以α。
无论斜率是正还是负，θ1更新后等于θ1减去一个正数乘以α，都会使得θ1逐步逼近使得代价函数J(θ1)最下的θ1值。
α太小或太大会出现什么情况：
如果α太小了，即学习速率太小，结果就是需要很多步才能到达最低点，所以如果α太小的话，可能会很慢，因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。
如果α太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果α太大，它会导致无法收敛，甚至发散。
如果预先把θ1放在一个局部的最低点，下一步梯度下降法会怎样工作？
假设θ1初始化在局部最低点，那么它已经在一个局部的最优处或局部最低点。结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优点，它使得θ1不再改变，也就是新的θ1等于原来的θ1，因此，如果你的参数已经处于局部最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率α保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。
在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小α。
梯度下降算法可以用来最小化任何代价函数J，不只是线性回归中的代价函数J。
三、梯度下降的线性回归算法
此部分将梯度下降和代价函数结合，应用于具体的拟合直线的线性回归算法里。
梯度下降算法和线性回归算法比较如图：
对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即：
则算法改写成：
我们刚刚使用的算法，有时也称为批量梯度下降。”批量梯度下降”，指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们都要对所有m个训练样本求和。因此，批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本，而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种"批量"型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。
线性代数中有一种称为正规方程(normal equations)的方法，它可以在不需要多步梯度下降的情况下，也能解出代价函数的最小值。但是实际上在数据量较大的情况下，梯度下降法比正规方程要更适用一些。
