不要简单的把乘法理解成加法的简化记号（＂三个2＂记为＂2乘以3＂），乘法的本质是映射的复合。

矩阵乘法是最常见的不满足交换律的乘法。把一个m×nm\times nm\times n的矩阵看成是从nnn维线性空间到mmm维线性空间的线性映射，那么m×nm\times nm\times n矩阵和n×kn\times kn\times k矩阵的乘法的结果就是从kkk维空间到nnn维空间再到mmm维空间的复合映射。当m=n=km=n=km=n=k的时候，乘法就成了一个集合上的二元运算。

加法本质是相同对象的运算，而乘法的本质是不同对象之间的运算。

比如一箱有60个鸡蛋，10箱有60x10个鸡蛋，其实我们考虑的是两个集合：鸡蛋计数集合AAA和箱子计数集合BBB，这里的乘法实际上是一个二元函数f:B×A→Af: B \times A \to Af: B \times A \to A。BBB上天然的运算是加法（一个箱子+一个箱子=两个箱子），f 对(B,+)(B, +)(B, +)满足分配律（2箱鸡蛋+3箱鸡蛋= (2+3) 箱鸡蛋 = 5 x 60个鸡蛋）这样我们就定义了最原始的乘法。数学上这样的关系叫作群(B,+)(B,+)(B,+)在群(A,+)(A,+) (A,+) 上的作用。

但我们很容易看到所有的计数集合都是同构的（整数加群），于是上面的运算就成了一个加群在它自身上的作用Z×Z→Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}. 这时候我们可以增加一些假设，比如：

结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)(ab)c = a(bc)

交换律：ab=baab=baab=ba

就得到了常见的整数乘法。

我们从小学就知道＂3 乘 5＂和＂3 乘以 5＂是不同的算式，其实这就是在强调乘法的本质是来自不同集合的元素的作用，只不过刚好整数乘法的交换律使得这两个运算结果是一样的。

对于这些理论感兴趣的读者，可以阅读抽象代数和范畴理论的相关书籍找到更准确深入的介绍。

好了，现在我们有整数以及加法、乘法了，什么是分数呢？对了，我们还没有定义除法。＂1除以2＂是什么东西我们并不知道啊！但我们知道除法是乘法的逆运算，就像减法是加法的逆运算一样。

回忆一下当我们只有自然数和加法的时候，我们是怎么定义负数的呢？什么是＂1-2＂？首先对于a≥ba\geq ba\geq b我们定义c=a−b c=a-b c=a-b是恰好满足a=b+ca=b+ca=b+c的那个自然数，它满足(a+d)−(b+d)=a−b(a+d)-(b+d)=a-b(a+d)-(b+d)=a-b.于是我们对于a

现在分数也是一样，借用张贤科老师的一句话，＂一除以二不知如何相除，以不除为除＂，我们不知道(1除以2)是什么，但我们知道(1除以2)=(2除以4)=(3除以6)=...，我就把它们统统用12\frac{1}{2}\frac{1}{2}代表。

每次我们像这样延拓运算的时候，我们旧的运算法则很自然的对于新产生的＂数＂依然成立，比如整数的加法，有理数的加法和乘法。

从有理数到实数的扩张与上面的做法别无二致，只不过它是针对另一种运算（取数列极限）所做的扩张，这个过程叫做完备化。

有关实数这些内容以及你所说的eπe^\pie^\pi，你可以从任何一本＜数学分析＞中找到严谨的逻辑论述。在这里只想补充一点：你提出的指数函数恰好是最重要的函数（没有之一），三角函数，对数函数以及双曲函数都是由简单的exe^xe^x发展而来，所谓＂基本函数＂其实只包含多项式函数和一个指数函数而已。

--------

补充一下看到你说欧拉公式才明白你所说的是eiπe^{i \pi}e^{i \pi}。这就要扯到复数。复数的定义方式有很多，我们按照上面的思路，定义−1=−42=−a2|a| (a∈R∖{0})\sqrt{-1} = \frac{\sqrt{-4}}{2} = \frac{\sqrt{-a^2}}{|a|} \ (a\in\mathbb{R}\backslash \{0\})\sqrt{-1} = \frac{\sqrt{-4}}{2} = \frac{\sqrt{-a^2}}{|a|} \ (a\in\mathbb{R}\backslash \{0\})为iii，把之前的加法，减法，指数函数的定义形式（指数函数用级数定义）都扩张到复数上来，eiπe^{i \pi}e^{i \pi}就有定义了。

--------

另外关于面积、体积与乘法的关系。与其说它们与乘法有关系，还不如说它们与行列式有关系，满足乘法关系只是在所有向量两两正交的时候的特例。

什么是乘法？

乘法是事物之间的【映射关系】或【对应关系】

也可以说：是同等级的，同纬度的，多个不同或者相同事物之间，关系总和的反映。

你可以在乘法的结果中，找到被乘数的影子，但是乘法的结果，却包含着比被乘数更丰富的，被乘数没有的内容

理科中乘法的表现

例【1】一个篮子10个鸡蛋，一共有5个篮子，共有多少个鸡蛋？

透过现象看本质。鸡蛋和篮子的个数关系，实质是鸡蛋个数和篮子个数这两种不同事物间的转换关系。

这里，乘法体现在了最生活的，数量间的转换关系。

例【2】矩阵A乘以矩阵B，得到了矩阵C

透过现象看本质。矩阵A在矩阵B的投影法则下，得到的矩阵是C，好比是 正方形A 通过一定的转换关系——B矩阵，得到的是一个平行四边形C。这也是图像处理中其中的数学原理。

而关于矩阵本身，就是一种复合计算方式，内在已经存在了一些内部联系，从而在分析矩阵的现象，可以表示很多种意思，上述只是提到了其中一种矩阵的应用。

例【3】线段 a 乘以线段 b 得到的是面积C

透过现象看本质。线段是一维空间的事物，两个一维空间的事物，相互作用下，可以转化为二维空间的事物——面积。

这里，乘法体现在维度方面。

例【4】密度乘以体积等于质量

透过现象看本质。质量与“密度和体积所组建在一起的总体”的关系，也就是一群事物内部共同作用的结果

这里，乘法体现了不同属性的事物之间通过乘法，可以产生具有独特属性的高级事物，而高级事物的属性包含了组成他的事物的属性。

例【5】考研数一中，概率论中的极大似然函数的构造，是将服从同一概率分布函数的N个样本相乘，这一步的目的，就是想应用乘法将N个一样的，同等级的样本组成一个整体，因为他们都服从（具有）同一的规律（同一概率密度函数），所以可以通过乘法来研究整体所服从的一个趋势（规律），进而得到所求。

这里，乘法体现的含义，如同例【3】，同样都是一群同纬度的事物，共同组成另一高级、高纬度的事物。

文科中乘法的体现

【1】社会的历史是社会中每个人自己的历史，按照特定的规则，方式和组成所叠加的状态。

乘法，是实现个人历史向社会历史的飞跃。

【2】几千万册的书，通过具体的管理、整理和收纳规则，组成了图书馆这个主体。

乘法，是实现每本独立的书向具体的、高阶的图书馆这个新事物飞跃。

上述的实例，可以说明，乘法在文科领域中的理解：

就是低级事物向高级事物的飞跃的过程；就是利用不同事物向创造新兴事物的飞跃的过程；就是部分与总体，个体与全体间关系的联系方式和实现方式；

启 发

辩证法认为，事物是相互联系的事物，联系是普遍的，联系的事物之间相互制约，相互作用和相互影响的关系。社会中每个人自己的历史的联系，组成了社会历史的关系，是社会总历史中每个人的历史的相互作用。分析和认识社会历史，就是要分析和认识组成社会历史的每个人民群总的作用、相互的联系。认识面积的线段的关系，就是要认识组成线段的每条边的相互作用，相互联系，是短边和长边的共同作用构成了面积的具体大小。

辩证法认为，事物是矛盾的事物，矛盾是普遍的，解决事物，分析事物的要点，是抓住事物的主要矛盾的的主要方面。分析和认识社会历史，就是要分析和认识组成社会历史中的每个人，尤其是在社会中有重要影响力的人，是他们促成了社会历史的进步方向和趋势。这一点，完全可以用来理解导数和导数为0时的点的含义，也就是最值问题，之后在专门写一篇文章探讨导数背后的含义，但可以提示的就是导数反应的是趋势问题，最值问题反应的是趋势的落脚点或出发点。认识面积和线段的关系，就是要认识到构成面积的每条线段的关系，尤其是其中的最短边长和最长边长的关系，是最短边决定了面积的最小值，是最长边决定了面积的最大值。

辩证法认为，事物的量变会引起质变。分析和认识社会历史，就是要认识到：是社会中的每个人的数量的复杂叠加关系，组成了一个新的关系，就是社会历史，是社会中每个人的历史的数量共同推进发展，引起了质变，不在仅仅是关于每个人的历史的问题，而是产生的社会历史的问题。认识面积和线段的关系，就是要认识到：是多条线段的长度变化，引起了质变，不再仅仅是关于线段长度变化的问题，还是总体所质变成为的面积问题。

乘法原理，是事物的关系问题，任意的事物之间的关系，之间的乘法运算，能够产生新的事物。

总 结

作为工科生的我认为，这在昭示，多个事物按照特定的规则，方法，能够形成的新的事物，是科技创新的重要方法和途径，是联系事物关系的观点和方法。