第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{\vec{v^2}}{R}$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{d \vec{v}}{dt}$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_t$
- 一般曲线运动的加速度
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：(2)(3)(6)

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答： - 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：物体的运动轨迹为一抛物线
水平方向上 $x=v_0cos\theta t$
竖直方向 $y=v_0sin\theta t -1/2gt^2$
最高点的曲率 $k=g/(v_0^2cos\theta^2)$
最高点的曲率半径 $ρ=v_0^2cos\theta^2/g.$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答： $\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{dt}=\vec{i}++\frac{1}{2}t\vec{j}$
$v=\sqrt{1+t^2}$
$a=1$
$a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}$