第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

// 自然坐标系是固定物体上的坐标系

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系
  - $\vec{e}_{t}$ //tangential 切向
  - $\vec{e}_n$ //**nomal ** 法向（指向圆心）

匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
- 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R} \vec{e_{n}}$
直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$ (改变速率的大小)
- 写成矢量式 $\vec{a}_t= \vec{e_t}$
变速圆周运动的加速度
- $\vec{a}=\frac{v^2}{R} \vec{e_{n}}+ \vec{e_t}$
- 总可以写成速度的大小乘以方向
  - $\vec{a_t}=\frac{d\vec{v_t}}{dt} = \frac{d v_{(t)}}{dt}\vec{e_t}+v_{(t)} \frac{d\vec{e_t}}{dt}$
- $d\vec{e_{t}}=\vec{e_{t1}}-\vec{e_{t2}}=d\theta \vec{e_n}$
- $v\frac{d\theta}{dt} \vec{e}_n=v\omega e_n=v\frac{v}{R} \vec{e}_n $
- $\theta$ 很小的时候，弦长近似等于弧长
一般曲线运动的加速度
- $\vec{a}=\frac{v^2}{R} \vec{e_{n}}+ \vec{e_t}$
- 曲率半径的直观感受
- 计算曲率半径
- $a_n=\frac{v^2}{\rho}$ // $\rho$ 为曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t} （切向）+\vec{a}_{n}（法向）$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：(2) 、(3) 、(6)

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变 (方向)
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变 //匀速圆周 $a_{t}=0$
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：B

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：

由 $a_n=\frac{v_x^2}{\rho}$ 得 $g=\frac{(v_0 \cos \theta)^2}{\rho}$

故 $\rho =\frac{(v_0 \cos \theta)^2}{g}$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答：由题易得： $｜a｜=1$

$|v|=｜\frac{d\vec{r}}{dt}｜= \sqrt{1^2+t^2}$

$|a_t|=\frac{dv}{d t}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} $

由 $|a|=\sqrt {a_n^2+a_t^2}$ 得 $|a_n|=\frac{1}{\sqrt{2}} $

切向加速度为， $\vec{a_ t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e_t}$

法向加速度为， $\vec{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e_n} $

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答： $t_1=1时，\vec{r_1}=3\vec{i}$ $t_2=5时，\vec{r_2}=15\vec{i}-24\vec{j}$

平均速率 $v_均= |\frac{\vec {r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}| =|\frac{-24}{4}|=6$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答： //轨迹是个圆

易得：速度为 $\vec {v}=\frac{\vec{r}}{dt}=\omega R \cos \omega t \vec{j} - \omega R \sin \omega t \vec{i}$

速率为 $|v|= \omega R$

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。
质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & \\ y=15t-20t^{2} & \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：由题： $\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}$ t时刻速度 $\vec {v}= \frac{d\vec{r}}{dt}=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}$

速率 $|v |= \sqrt {(-10+60t)^2+(15-40t)^2}=略 $

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