两个孩子性别与条件概率,3个盒子抽奖又是怎么回事呢?

相信许多人都接触到这个看似是生物、其实是数学概率的问题——某个家庭有两个孩子,其中一个是女孩,另一个是女孩的概率是多少,是男孩的概率又是多少?

不少人第一反应是生男生女概率相同,都是1/2,因此另一个孩子性别男女的概率各为1/2.然而参考答案是另一个孩子是女孩的概率为1/3,是男孩的概率为2/3,这是怎么推导出来的呢?

我们可以把所有的情况穷举出来。假设我们用【第一个孩子的性别,第二个孩子的性别】进行表示,那么2个孩子一共有以下4种情况:①、【男孩、男孩】;②、【男孩、女孩】;③、【女孩、男孩】;④、【女孩、女孩】。这4种情况概率相同,各占1/4.由于我们已知其中一个是女孩,因此①这种情况被排除,剩下三种情况概率相同,各占1/3,其中另一个孩子是女孩的只有④,因此为1/3;另一个孩子是男孩的情况有②和③,因此为2/3.

概率之所以不同,是因为我们假定其中一个是女孩,这个条件使得基本事件的分布发生了变化。如果我们把条件改为老大是女孩,那么就只有③和④符合,老二的性别仍然各占一半。

下面有一个相似的开盒子抽奖的概率问题,也很有意思。题目是这样的——有3个盒子,其中只有1个盒子里面有奖品。你可以先任意选1个盒子,之后主持人会将剩下2个盒子中去除1个空盒子,接下来你可以选择换另一个盒子或者坚持最开始的想法,问要不要换呢?

看到这儿很多人可能觉得应该换。(那些不换的朋友,都说这个题目和两个孩子的题目相似,还坚持不换的话,用我数学老师的话说,就是大脑发育不熟-_-||)但是为什么要换呢?

同样我们可以把所有的情况穷举出来。假设我们用【第1个盒子有无奖品;第2个盒子有无奖品;第3个盒子有无奖品】进行表示,那么一共有以下3种情况:①、【有、无、无】;②、【无、有、无】;③、【无、无、有】;每种情况各占1/3。假设我们选择第1个盒子,那么情况①变成【有、无】,以此类推,情况②变成【无、有】,情况③变成【无、有】。现在,原来选择的盒子有奖品的概率变成1/3,另一个盒子有奖品的概率变成2/3.以此类推,假设我们开始选择第2个盒子或者选择第3个盒子也是相同的情况。因此在这个游戏中,为了中奖的概率最大化,应该换选另一个盒子。之所以发生这种变化,是主持人排除空盒子的这个动作,使得开始选择的盒子和剩下的盒子的地位发生了变化,也就是说基本事件集合发生了变化。

生活中可能有许多这种看起来可能与第一印象不符的事情,只要善于科学分析,就能发现背后的真相。大家平时还遇到过哪些有趣的事情呢,欢迎留言。

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