Hahn-Banach定理，说的是，赋范线性空间的某个子空间上的有界线性泛函可以被范数不减地延拓到全空间上。这个定理是纯代数的，但却有着非常美妙的几何形式，也因此被认为是最优化理论的基础性定理。
首先，必须要弄清楚线性泛函这个对偶空间上的东西，是怎么跟原空间联系起来的。
我们把记作是有界泛函
的零空间，容易知道它是原空间
的一个子空间。把这个空间做个平移，
表示的就是一个（闭）超平面。
在欧式空间里面，我们要确定一个超平面，只需要知道平面上一点和这个平面的法向量方向。因此，在Hilbert空间中，我们会有用的方式来表示一个超平面，这是因为Hilbert空间的对偶空间跟它本身是就是一样（同构）的（Reize表示定理）。但是Banach空间不一样，这就导致我们需要借助它的对偶空间，上面的线性泛函
，就起到向量
表示超平面法向的这一作用！
所以说，在Banach空间中讨论几何学，线性泛函就充当了超平面的作用，可以证明，中的闭子空间与其有界线性泛函（关于其零空间构成的等价类）是一一对应的。
因此，Banach空间中集合的分离性就可以用线性泛函的语言来进行描述：
对于集合，如果存在常数
，使得
就说线性泛函
分离 集合
和
。上面这个条件可以等价地表述为：
如果不等号严格成立，就说
是严格分离
和
的。
那么，泛函延拓是如何跟凸集分离联系起来的呢？
Hahn-Banach定理有一个重要的推论，就是，对于单位球上的范数的, 我们可以构造性的说明，存在一个有界线性泛函
，使得
，同时
，这样，根据线性算子范数的定义：
。这说明了，过单位球上的一点，可以做一个闭超平面，使得单位球全部位于超平面的一侧！这本质就是支撑超平面定理！
进一步，很容易知道，如果一点位于单位球外，那么必然存在一个超平面，把这点跟单位球给严格分离。
单位球是一个特殊的凸集，那对于一个任意的凸集怎么办？
首先我们假定这个凸集是有内点的（就算没有内点，只要有相对内点就可以放在一个更小的子空间上讨论），这时候不妨把这个内点平移到跟原点重合，我们的一个想法就是：构造一个新的范数，让这个凸集在新的范数下成为单位球。设是一个以原点为内点的均衡吸收的凸集，定义
为凸集
的Minkowski泛函。从而，
的内点集可以表示成
。
Note：在强拓扑下无穷维空间中有内点的集合都不是紧集；
均衡的：且
，则
吸收的：使得
Banach空间可能存在不以原点为内点的均衡、吸收的凸集。
最终，我们可以得到泛函延拓定理的几何形式：
设是赋范线性空间
中的两个凸集，同时
的内点集非空，且
不包含
的内点，则存在线性泛函
分离凸集
。
最后呢，我想把一个优化理论的基础定理推广到无穷维空间中去。
在欧式空间中，一个闭凸集，可以看作是所有包含这个凸集的半平面的交集。相对的，在Banach空间中，一个闭凸集，可以看作是所有包含这个凸集的半平面的交集，而这个半平面，是用线性泛函表示的。
这样，我们成功地用对偶空间中的元素去描述了原空间中的凸集。这也是对偶性理论的基础。
文章最后的最后，我想用简单用凸集分离定理来证明 Mazur's Lemma.
(Mazur's Lemma)赋范线性空间中弱收敛于
，证明存在一个线性组合
强收敛于
。
首先我们证明，这里
表示凸组合，
表示闭包。
如若不然，即，根据凸集分离定理，存在线性泛函
将点
与闭集
严格分离，这与
弱收敛于
矛盾。
从而 Mazur's lemma 是显然的。
