我们探究数学问题整个探究的思路都是从特殊到一般，函数也一样。
既然要探究函数，那么我们就要先弄清楚函数的定义是什么：在某个变化过程中，有两个变量x和y，给定一个x值，y有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。这是我们对函数的定义，有了这个，接下来就展开我们对函数的探究吧！
我们最开始探究的函数是最特殊的一次函数——正比例函数，它的解析式是y=ax(a≠0)，我们先猜想一下它的函数图像可能拥有怎样的性质？
首先，它x的指数为1，所以一个x对应一个y，我们就猜想它的函数图像可能呈一条直线；其次，它a的值没有给出，只说了a≠0，我们就要分类讨论：当a＞0时，y/x＞0，所以xy＞0，函数图像一定经过一三象限（一三象限内，xy＞0），函数图像斜向上，y随x的增大而增大。同理，我们也可以猜想当a＜0时，函数图像一定经过二四象限（二四象限内，xy＜0），函数图像斜向下，y随x的增大而减小。
通过列表、描点、连线的方式，画出的y＝x的函数图像的性质是：
y＝x：
1.过原点的一条直线 2.y随x的增大而增大 3.过一三象限 4.关于原点中心对称
通过列表、描点、连线的方式，画出的y＝－x的函数图像的性质是：
y＝－x：
1.过原点的一条直线 2.y随x的增大而减小 3.过二四象限 4.关于原点中心对称
通过画图，我们也验证了以上的猜想：
1.一次函数的图像呈一条直线 2.当a＞0时，函数图像过一三象限。 当a＜0时，函数图像过二四象限。 3.当a＞0时，y随x的增大而增大。 当a＜0时，y随x的增大而减小。
当然，这个函数图象是正比例函数当中比较特殊的一种情况，正比例函数的解析式是y=ax（a≠0），而我画的这个图象的a是1或－1，也就是一次项的系数为1或－1，是正比例函数当中最特殊的。所以，我们接下来还要探究a的大小会对函数图像有哪些影响？
我们猜想a的大小会影响函数图像的斜率，因为你想象一下当a＞0时，y=ax（a≠0）这个解析式中，a的值越大，y的值也就上升的越快。同理，当a＜0时，a的绝对值越大，y的值下降的也就越快。所以我们就猜想：当a的绝对值越大时，函数图像就越陡峭(斜率越大)。由此，我们还可以确定：x是自变量，y是因变量。
通过列表、描点、连线的方式，画出的y＝2x和y＝1/2x的函数图像，如下：
通过画图，我们也验证了以上的猜想：
1.a的绝对值越大，函数图像上升或下降的越快（斜率越大）。
探究完特殊的一次函数（正比例函数）我们就要探究一般的一次函数了。一般的一次函数解析式为：y＝ax＋b（a≠0），先看这个解析式，它比正比例函数的解析式多了个b（常数项），我们知道当a确定时ax也就是一个定值，再加上b，就可以求出y的值，所以y就是随x的改变而改变的，这个函数图像所有的x都加上了b，所以我们就猜想：b的值就是让这个函数图像整体向上或向下平移，b＞0时就像上平移，b＜0时就向下平移。
通过画图，我们也验证了以上猜想：
1.b不改变函数图像的斜率，b的值决定函数图像向上或向下平移。 2.当b＞0时，函数图像向上平移； 当b＜0时，函数图像向下平移。
现在对一次函数的性质，我们已经探究的很清楚了，接下来还要数形结合，从函数图像下手，探究函数图像与解析式的解（解集）之间的关系。
我们拿y＝x+2来说，首先先说方程，因为x是自变量，y是因变量，y是一直随着x的变化而变化的，所以当x没有确定时y也不能确定，所以我们选择最特殊的当y=0的时候来探究，y=0其实也就是x+2=0，解这个一元组方程可以得到x=－2，反应到函数图像上，也就是函数图像与y轴交点的横坐标。接下来探究不等式，当x+2＞0时，解得x＞－2，也就是函数图像上x轴以上的部分；当x＋2＜0时，解得x＜－2，也就是函数图像上x轴以下的部分。
通过以上的探究，我们已经很清楚描述一个一次函数图像要从哪几方面来讲了，他们分别是单调性、对称性以及解析式。
下一篇二次函数的探究，又将有怎样的新发现呢？
