9.31 使用双线性变换，设计一个离散时间高通滤波器。为了设计离散时间高通滤波器，我们可以使用两种方法。我们可以设计一个模拟类型的低通滤波器，使用双线性变换将其映射到低通滤波器，然后在z域中进行低通到高通的变换。或者，在应用双线性变换之前，我们可以在v平面中执行低通到高通变换，然后使用双线性变换将模拟高通滤波器映射到离散时间高通滤波器。因为这两种方法产生相同的设计，所以我们使用哪种方法并不重要。因此，我们将使用第二种方法，因为它在代数上显得更加容易一些。

由于我们想设计一个高通滤波器，在阻带的截止频率为0.1π和一个通带截止频率为0.3π时，我们首先将数字滤波器的规格转换为连续时域。随着时间变化，我可以得出以下结论：

使用变换公式，可以将这些高通滤波器的截止频率映射到低通滤波器截止频率。因此，模拟滤波器的选择性因子。因此，所需的过滤器顺序是

虽然我们应该四舍五入得到整数3，但由于我们使用二阶滤波器，我们应该接近满足规格。因此，我们将使用参数N=2的滤波器。

下一步是设计一个二阶低通滤波器，作为对设计的检查，我们可以计算n=0.1处的频率响应幅度，即为以下公式表达式：这接近满足阻带规格，同时也确实满足约束条件。

9.32 我们想设计一个数字低通滤波器，它的通带截止频率为…，阻带截止频率为，滤波器将使用双线性变换的方法进行设计。为了满足设计规范，我们应该确定参数的准确性。               

为了找到所需的滤波器阶数，我们首先找到模拟低通滤波器原型的鉴别因子和选择性因子。而且我们需要参考判别系数。

对于选择性因子，我们首先找到模拟原型的截止频率。使用该数据，为了使我们的频率范围变得更加准确。

所以对于该滤波器，所需的滤波器阶数为此表达式；

所以最小阶数是以下公式；最后，对于椭圆滤波器，我们首先需要评估的是该滤波器的影响因子。

9.33 使用脉冲不变性，在s处的一阶极点被映射到在z处H(z)中的一个极点。确定如何使用脉冲不变性，映射到二阶极点。如果连续时间滤波器的系统函数为 此表达式；那么就可以求得其脉冲响应为，其中 u(r) 是单位阶跃函数，我们知道采样周期T；它遵循的是z变换，因此，对于二阶极点，我们有映射。

9.34 假设我们想设计并实现一个低通滤波器 

(a) 需要什么样的过滤器才能满足这些规格。

(b)对椭圆滤波器重复第（a）部分。

(c) 根据必须存储的系数数量、需要的延迟数量以及计算每个输出样本y（n）所需的乘法数量，比较等波纹滤波器和椭圆滤波器实现的复杂性。

(a) 过渡宽度为Aw=0.027，对FIR等波纹滤波器所需的滤波器阶数进行了估计；

(b) 对于椭圆滤波器，我们有以下表达式；

(c) 对于阶数 /V = 254 的 FIR 滤波器，输出 J(B)为表示为…

因此，实现这个倾斜器需要N个延迟，由于该滤波器具有线性相位，利用单位样本响应的对称性，可有获得h(n)。因此，我们必须为滤波器系数提供存储空间。此外，我们可以简化对y(n)的评估如下；因此，计算y(n) 的每个值需要128次运算。由此可知，存储系数a（k）和b（k）需要21个内存位置，而规范实现需要10个延迟。此外，我们还看到计算y（n）的每个值需要21次运算。然而，由于H（z）的零点位于单位圆上，因此系数b（k）是对称的。通过利用这种对称性，我们可以消除每个输出点。

9.35 具有有理系统函数的连续时间滤波器的输入和输出由以下形式的线性常系数微分方程关联

假设我们对 x(r) 和y(t) 进行采样，并用差异近似一阶导数，可以求得相对应的结果。高阶导数的近似定义如下；将这些近似值应用于微分方程，可得出微分方程的以下近似值；第一个表达式定义了从 s 平面到 z 平面的映射，该映射由下式给出，

确定此映射的特征，并将其与双线性变换进行比较。这是一个正确的映射，解释为什么这样定义。与双线性变换一样，第一个表达式是将s的有理函数映射为z的有理函数，要查看s平面中的点如何映射到z平面中的点，让我们按照以下方式编写映射，而且它遵循左半s平面中的点映射到单位圆内的点。因此，稳定的模拟滤波器映射到稳定的数字滤波器。现在，让我们看看j轴是如何映射到z平面的。因此，我们可以看到此表达式，映射如下图所示。由于j轴未映射到单位圆上，因此，通常情况下，通过该映射生成的数字滤波器的频率响应，模拟滤波器频率响应的精确表示，w接近零时除外，连续时间滤波器的频率响应将仅在低频时得到很好的保持。

9.36 使用脉冲不变性方法从具有系统功能的模拟原型设计数字滤波器 

为了使用脉冲不变性技术设计滤波器，我们首先将H(s)展开为部分分数展开式，如下所示注意，s处的零映射到z处的零点，因此，离散时间滤波器中零点的位置取决于极点的位置以及模拟滤波器中零点的位置。

9.37 利用脉冲不变性方法，通过对连续时间滤波器的脉冲响应进行采样，形成数字滤波器的单位采样响应。另一种方法是使用阶跃不变性方法，其中通过对连续时间滤波器的阶跃响应进行采样来形成数字滤波器的阶跃响应。

(a) 使用连续时间原型设计具有阶跃不变性方法的数字滤波器 

(b)确定滤波器是否与使用脉冲不变性方法设计的滤波器相同。

(a) 如果连续时间滤波器的脉冲响应为h(t)，则其阶跃响应为此表达式

因此，因为该表达式变换的所述系统功能H（S）如下，为了使用阶跃不变性设计数字滤波器，我们首先执行 S(s) 的部分分数展开，并找到s(n)的 z 变换对应于如下表达式。因此，阶跃响应的 z 变换为数字滤波器的系统函数。

(b) 利用脉冲不变性，我们从下面表达式中看到，系统功能正常。注意，尽管H（z）与使用阶跃不变性设计的滤波器具有相同的极点，但系统函数并不相同。因此，这两种设计并不等同。

9.38 假设我们想通过将脉冲不变性方法应用于具有幅度平方函数的连续时间来设计离散时间低通滤波器。

结果表明，该设计不受脉冲不变性技术中所用采样周期值的影响。在没有混叠的情况下，对于脉冲不变性方法是线性映射。该映射为下面表达式；让我们假设说结果没有失真，那么所需的滤波器顺序是以下结果，显然，判别系数不取决于采样周期T。因此，这不会依赖于所述采样周期。因此，在需要连接的滤波器顺序是下图所示。如果我们将系统函数展开为分部展开式，我们有可以获得此表达式。因为该表达式具有脉冲不变性，离散时间滤波器的系统函数变为以下所示，因为T是离散时间域中低通滤波器的截止频率，它由倾斜器规格固定。因此，它的极点不受采样周期T的影响。例如如果我们试图减小T，以减少混叠，这将需要增加Q，以保持截止频率。因此，不受T的影响。

9.39 使用脉冲不变性方法设计低通数字滤波器，以满足以下规范：

在没有混叠的情况下，脉冲不变性方法是线性映射，由下式给出。因此，为了简化设计，我们将假设没有混叠，然后在设计完成后，检查要看到的是该过滤器满足了给定的规范。由于该参数T，并没有脉冲不变性方法设计，为方便起见，我们可以得出以下表达式。那么，第一步是根据以下规范设计一个模拟滤波器。为了确定滤波器阶数，我们计算判别因子。也就是说，滤波器完全满足通带规范。因此，由于以下公式表示频率响应平方的大小。如下图所示，滤波器设计。因此，滤波器的极点是左半s平面的三个复共轭极点对。从每个共轭极点对形成二阶多项式，我们有以下表达式。接下来的步骤，在代数上非常繁琐，是执行H(s)的部分分数展开式。下图绘制了以分贝为单位的频率响应幅度。