资产组合理论(四):方差均值分析

方差均值分析

对于资产组合的最优化问题,我们一般有两种类型:

  • 给定资产组合的目标回报率,求出最小方差的资产组合。
  • 给定资产组合的方差限制,求出最大回报率的资产组合。

在上一篇中我们只考虑了风险资产,现在我们引入无风险资产,比如银行账户。给无风险资产设定一个固定额回报率r,方差等于0,而且同其他资产的相关系数也为0。

设无风险资产的权重为w_0,则无风险资产的权重可以表示为:
w_0 = 1 - \mathbf{w}^T\mathbf{1}

则资产组合的回报率可以表示为:
\mu_{\pi} = \mathbf{w}^T\boldsymbol{\mu} + r(1-\mathbf{w}^T\mathbf{1}) = r + \mathbf{w}^T(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})

因为无风险资产的方差为0,因此资产组合的方差就等于风险资产组合部分的方差:
\sigma_{\pi} = \sqrt{\mathbf{w}^T\Sigma\mathbf{w}}

基于以上设定,我们这个问题可以表示如下:

\mathop{\min}_{\mathbf{w}} \frac{1}{2}\mathbf{w}'\Sigma\mathbf{w}
给定条件:
r + (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w} = m

则该问题的拉格朗日函数可以表示为:
L(\mathbf{w},\lambda) = \frac{1}{2}\mathbf{w}'\Sigma\mathbf{w} + \lambda(m - r - (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w})

为方便,接下来不用粗体表示矩阵。

一阶条件:
\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}} = \Sigma \mathbf{w}-\lambda(\boldsymbol{\mu}-r\mathbf{1}) = 0 \\ & \frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - r - (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w} = 0 \end{align}

这个方程的解为:
\begin{align} & \mathbf{w}^* = \frac{(m+r)\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})}{(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})} \\ & \lambda^* = \frac{(m+r)}{(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})} \end{align}

易验证二阶条件——Hessian矩阵:
H(L(w^*)) = \frac{\partial^2 L}{\partial w^2} = \Sigma > 0

因此可得最优的风险资产权重分配\mathbf{w}^*

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