资产组合理论（四）：方差均值分析

方差均值分析

对于资产组合的最优化问题，我们一般有两种类型：

给定资产组合的目标回报率，求出最小方差的资产组合。
给定资产组合的方差限制，求出最大回报率的资产组合。

在上一篇中我们只考虑了风险资产，现在我们引入无风险资产，比如银行账户。给无风险资产设定一个固定额回报率 $r$ ，方差等于0，而且同其他资产的相关系数也为0。

设无风险资产的权重为 $w_0$ ，则无风险资产的权重可以表示为：
$w_0 = 1 - \mathbf{w}^T\mathbf{1}$

则资产组合的回报率可以表示为：
$\mu_{\pi} = \mathbf{w}^T\boldsymbol{\mu} + r(1-\mathbf{w}^T\mathbf{1}) = r + \mathbf{w}^T(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})$

因为无风险资产的方差为0，因此资产组合的方差就等于风险资产组合部分的方差：
$\sigma_{\pi} = \sqrt{\mathbf{w}^T\Sigma\mathbf{w}}$

基于以上设定，我们这个问题可以表示如下：

$\mathop{\min}_{\mathbf{w}} \frac{1}{2}\mathbf{w}'\Sigma\mathbf{w}$
给定条件：
$r + (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w} = m$

则该问题的拉格朗日函数可以表示为：
$L(\mathbf{w},\lambda) = \frac{1}{2}\mathbf{w}'\Sigma\mathbf{w} + \lambda(m - r - (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w})$

为方便，接下来不用粗体表示矩阵。

一阶条件：
$\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}} = \Sigma \mathbf{w}-\lambda(\boldsymbol{\mu}-r\mathbf{1}) = 0 \\ & \frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - r - (\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\mathbf{w} = 0 \end{align}$

这个方程的解为：
$\begin{align} & \mathbf{w}^* = \frac{(m+r)\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})}{(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})} \\ & \lambda^* = \frac{(m+r)}{(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})'\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} -r\mathbf{1})} \end{align}$

易验证二阶条件——Hessian矩阵：
$H(L(w^*)) = \frac{\partial^2 L}{\partial w^2} = \Sigma > 0$

因此可得最优的风险资产权重分配 $\mathbf{w}^*$ 。

最后编辑于：2021.02.11 01:16:16

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