矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

小结

$\boldsymbol{LU}$ 分解
$\boldsymbol{LU}$ 分解算法

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的因式分解是把 $\boldsymbol{A}$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。

$\boldsymbol{LU}$ 分解

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，它可以行换简为阶梯形而不必行对换（此后，我们将处理一般情形），则 $\boldsymbol{A}$ 可写成 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}$ ， $\boldsymbol{L}$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵，主对角线全是1， $\boldsymbol{U}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $m \times n$ 阶梯形矩阵。这样一个分解称为 $\boldsymbol{LU}$ 分解，矩阵 $\boldsymbol{L}$ 是可逆的，称为单位下三角矩阵。

当 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}$ 时，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{x}$ 可写成 $\boldsymbol{L}(\boldsymbol{Ux})=\boldsymbol{b}$ 。把 $\boldsymbol{Ux}$ 写成 $\boldsymbol{y}$ ，可以由解下面一对方程来求解 $\boldsymbol{x}$ ： $\begin{cases} \boldsymbol{Ly}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{Ux} = \boldsymbol{y} \end{cases}$

可以证明 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ -3 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & 0 & -5 \\ -9 & 5 & -5 & 12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -3 & 8 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}=\boldsymbol{LU}$
应用 $\boldsymbol{A}$ 的 $\boldsymbol{LU}$ 分解来解 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ ，其中 $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}-9 \\ 5 \\ 7 \\ 11\end{bmatrix}$ 。
解：解 $\boldsymbol{Ly}=\boldsymbol{b}$ 。
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{L} & \boldsymbol{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -9 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 1 & 0 & 7 \\ -3 & 8 & 3 & 1 & 11 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{y}\end{bmatrix}$
对 $\boldsymbol{Ux}=\boldsymbol{y}$ 进行行化简的向后步骤。
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{U} & \boldsymbol{y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 & -9 \\ 0 & -2 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
故 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3 \\ 4 \\ -6 \\ -1\end{bmatrix}$ 。

$\boldsymbol{LU}$ 分解的计算依赖于如何求 $\boldsymbol{L}$ 和 $\boldsymbol{U}$ 。

$\boldsymbol{LU}$ 分解算法

设 $\boldsymbol{A}$ 可以化为阶梯形 $\boldsymbol{U}$ ，化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵 $\boldsymbol{E_1},\cdots,\boldsymbol{E_p}$ 使 $\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}$ 。于是 $\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1})^{-1}\boldsymbol{U}=\boldsymbol{LU}$ ，其中 $\boldsymbol{L}=(\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1})^{-1}$ 。可以证明 $\boldsymbol{L}$ 是单位下三角矩阵。
注意将 $\boldsymbol{A}$ 化为阶梯形 $\boldsymbol{U}$ 过程中的行变换，它把 $\boldsymbol{A}$ 化为 $\boldsymbol{U}$ 。这写行变换也把 $\boldsymbol{L}$ 化为 $\boldsymbol{I}$ ，这是因为 $\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1}\boldsymbol{L}=\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1}(\boldsymbol{E_p}\cdots\boldsymbol{E_1})^{-1}=\boldsymbol{I}$

$\boldsymbol{LU}$ 分解的算法：

如果可能的话，用一系列的行倍加变换把 $\boldsymbol{A}$ 化为阶梯形 $\boldsymbol{U}$ 。
填充 $\boldsymbol{L}$ 的元素使相同的行变换把 $\boldsymbol{L}$ 变为 $\boldsymbol{I}$ 。

求下列矩阵的 $\boldsymbol{LU}$ 分解： $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & 5 & -2 \\ -4 & -5 & 3 & -8 & 1 \\ 2 & -5 & -4 & 1 & 8 \\ -6 & 0 & 7 & -3 & 1 \end{bmatrix}$
解：因 $\boldsymbol{A}$ 有4行，故 $\boldsymbol{L}$ 应为 $4 \times 4$ 矩阵。 $\boldsymbol{L}$ 的第一列应该是 $\boldsymbol{A}$ 的第一列除以它的第一行主元素： $\boldsymbol{L}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 && 1 & 0 \\ -3 & & & 1\end{bmatrix}$
比较 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{L}$ 的第一列。把 $\boldsymbol{A}$ 的第一列的后三个元素变成零的行变换同时也将 $\boldsymbol{L}$ 的第一列的后三个元素变成0。
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} \color{red}{2} & 4 & -1 & 5 & -2 \\ \color{red}{-4} & -5 & 3 & -8 & 1 \\ \color{red}{2} & -5 & -4 & 1 & 8 \\ \color{red}{-6} & 0 & 7 & -3 & 1 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & 5 & -2 \\ 0 & \color{red}{3} & 1 & 2 & -3 \\ 0 & \color{red}{-9} & -3 & -4 & 10 \\ 0 & \color{red}{12} & 4 & 12 & -5 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{4} & 7 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{5} \end{bmatrix}$
上式中标出的元素确定来将 $\boldsymbol{A}$ 化为 $\boldsymbol{U}$ 的行化简。在每个主元列，把标出的元素除以主元后将结果放入 $\boldsymbol{L}$ ： $\boldsymbol{L}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 & 1\end{bmatrix}$ 。
容易证明，所求出的 $\boldsymbol{L}$ 和 $\boldsymbol{U}$ 满足 $\boldsymbol{LU}=\boldsymbol{A}$ 。

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