前言

本文将介绍以下几点：
1、位置式PID
2、增量式PID
3、抗积分饱和原理
4、对比

通过本文，你将对位置式、增量式PID有基础了解，并掌握增量式PID的抗积分饱和原理。本文不涉及其他各式各样的抗积分饱和原理。

示意图

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概述

简单来说：增加式（或称增量式）PID之所以能天然抗积分饱和，是因为它的算法不直接计算和存储积分项的历史累积值，而是计算控制量的变化量。当输出被限幅时，这个“变化量”的计算会自动将饱和因素考虑在内，从而避免了积分项的持续累积（即windup）。

下面我们进行详细分解。

什么是“积分饱和”（Integral Windup）

根源：在位置式PID中，积分项是对所有历史误差的累加（∑e(t)）。当系统输出由于执行机构限幅（例如阀门全开/全关、电机最大转速）而无法再跟踪控制量的要求时，误差e(t)会持续存在。

问题：尽管输出已经达到极限，但控制器内部的积分项因为误差的持续存在而会继续无限增大（“积分饱和”或“windup”）。

后果：当设定值改变（例如需要反向调节时），由于积分项已经变得非常大，控制器需要很长时间才能将这个巨大的积分项“消化”掉，导致系统出现严重的超调和平稳时间延长。在这段“消化”时间里，执行机构会一直卡在极限位置，无法及时响应。

位置式PID vs. 增量式PID

我们通过公式对比来理解。

位置式PID (Positional PID)

输出的是控制量的绝对位置。
u(k) = Kp * e(k) + Ki * ∑e(j) + Kd * [e(k) - e(k-1)] （其中 j=0 to k）

关键点：它有一个独立的、不断累积的积分项 ∑e(j)。这个项是造成windup的直接原因。一旦输出饱和，这个累加值会变得巨大且与实际情况脱节。

增量式PID (Incremental PID)

输出的是控制量相对于上一次的变化量 (Δu)。
Δu(k) = u(k) - u(k-1) = Kp * [e(k) - e(k-1)] + Ki * e(k) + Kd * [e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)]

关键点：它没有独立的积分项。积分作用体现在 Ki * e(k) 这一项上，它只与当前误差有关，而不是所有历史误差的总和。

最终的输出是：u(k) = u(k-1) + Δu(k)
这意味着当前的控制输出严格依赖于上一次的输出值。

增量式PID如何天然抗饱和？

核心就在于这个 u(k) = u(k-1) + Δu(k) 的迭代结构。

让我们模拟一下饱和时的情况：

• 假设执行机构的输出被限制在 [Umin, Umax] 之间。
• 在某个时刻 k-1，计算出的 u(k-1) 已经达到了上限 Umax（即饱和了）。
• 进入时刻 k，控制器计算增量 Δu(k)。由于误差可能仍然很大，Δu(k) 可能还是一个很大的正数。
• 现在计算 u(k) = u(k-1) + Δu(k) = Umax + Δu(k)。显然，这个结果会远远超过 Umax。
• 关键一步：在实际应用中，我们必须对最终输出进行限幅：
  u(k) = clamp( u(k-1) + Δu(k), Umin, Umax )**
  因此，u(k) 实际上被强制设定为 Umax。
• 进入时刻 k+1：
  计算 u(k+1) = u(k) + Δu(k+1) = Umax + Δu(k+1)
  同样，计算结果再次被限幅为 Umax。

发生了什么？

在位置式中，即使输出饱和，内部的积分累加器 ∑e(j) 仍在疯狂增长，与真实的输出值 Umax 严重脱节。

在增量式中，虽然计算出的 Δu(k) 很大，但由于输出被限幅，实际生效的值 u(k) 被牢牢地钉在了 Umax 上。并且，这个被限幅后的值 Umax 会作为下一次计算的基准 u(k-1)。

换句话说，积分效应（通过 Ki * e(k) 体现）被“冻结”了。 只要系统处于饱和状态，计算出的任何正增量 Δu 都是无效的，输出会一直保持在最大值 Umax 不动。一旦误差减小或变为负值（需要反向调节），Δu(k) 会立刻变为负数，输出 u(k) 也能立即从 Umax 开始下降，响应没有丝毫延迟。

总结对比

因此，增量式PID因其算法结构特性，无需任何额外代码就实现了天然的抗积分饱和功能，这是它相对于位置式PID的一个巨大优势。