线性变换

线性变换

线性变换的定义

本节介绍线性变换的概念，线性变换是指在线性空间之间“保持线性结构”的映射。简单来说，这种变换它保持加法和数乘。

线性变换：设 $V,W$ 是同一个数域 $\mathbb F$ （通常取 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ ）上的向量空间。映射
$T:V\to W$ 如果对任意 $u,v\in V$ ，任意 $a,b\in \mathbb F$ ，都有 $T(au+bv)=aT(u)+bT(v),$ 我们就说 $T$ 是一个线性变换。

线性性等价地可以拆成如下两条：

可加性：
$T(u+v)=T(u)+T(v)$
齐次性：
$T(av)=aT(v)$

只要这两条都满足，就是线性变换。

线性变换的性质，由定义可推出：
$T(0)=0,$
即线性变换一定把零向量映到零向量。但注意， $T(0)=0$ 只是必要条件，不是充分条件。

几何上，线性变换保持原点、直线和平行关系，但不一定保持长度和角度。因为他可能对向量产生拉伸。

常见线性变换的例子

零变换

定义 $T(v)=0$ 对任意 $v\in V$ 。它把每个向量都映到零向量。

验证：
$T(au+bv)=0=a\cdot 0+b\cdot 0=aT(u)+bT(v).$
所以零变换是线性变换。

恒等变换

定义 $I(v)=v.$ 验证：
$I(au+bv)=au+bv=aI(u)+bI(v).$ 所以恒等变换是线性变换。

矩阵乘法

设
$A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},$
定义
$T:\mathbb R^2\to \mathbb R^2,\qquad T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$
即
$T(x,y)=(2x-y,\ x+3y).$
因为矩阵乘法满足
$A(au+bv)=aAu+bAv,$
所以 $T$ 是线性变换。

旋转变换

在平面 $\mathbb R^2$ 中，把向量绕原点旋转角度 $\theta$ ：
$T(x,y)=(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta).$
这是一个线性变换，因为它对应矩阵
$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.$

投影变换

定义
$T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3,\qquad T(x,y,z)=(x,y,0).$ 它把空间中的点投影到 $xy$ 平面。因为
$T(a(x_1,y_1,z_1)+b(x_2,y_2,z_2)) =aT(x_1,y_1,z_1)+bT(x_2,y_2,z_2),$ 所以它是线性变换。