学习笔记 - 拓扑学（六）

度量拓扑

在一个集合中引入拓扑最常见的方法就是在该集合上定义一个度量，然后再在度量上引入拓扑。通过这种方法引入的拓扑在现代分析学中占据着核心地位。首先，我们定义什么是度量。

定义（度量）：在一个集合 $X$ 上的一个度量是一个函数
$d:X\times X \to \mathbb{R}$ 满足如下性质：

$d(x,y)\geq 0,\forall ~ x,y\in X$ ，等号成立当且仅当 $x=y$

$d(x,y)=d(y,x),\forall~ x,y\in X$

$d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z),\forall~x,y,z\in X$

在 $X$ 上给定一个度量 $d$ ，则 $d(x,y)$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的距离。给定 $\epsilon >0$ ，考虑 $B_d (x,\epsilon ) = \{ y~|~d(x,y)<\epsilon \}$ 即所有与 $x$ 的距离小于 $\epsilon$ 的点的集合，称为以 $x$ 为中心的 $\epsilon$ 球，简记为 $B(x,\epsilon)$ 。

定义（度量拓扑）：设 $d$ 是 $X$ 上的度量，那么集合
$\mathcal{B} = \{ B_d(x,\epsilon)~|~x\in X, \epsilon>0 \}$ 是 $X$ 上的一个拓扑的基，该拓扑为由度量 $d$ 诱导的度量拓扑。

很容易证明该定义的集合确实是拓扑的基。对于第一个条件，我们有 $x\in B(x,\epsilon),\forall~x\in X$ ，因此得到满足；对于第二个条件，首先我们可以通过三角不等式很容易得出，如果 $y\in B(x,\epsilon)$ ，那么存在 $\delta>0$ 使得 $B(y,\delta)\subset B(x,\epsilon)$ ；这样，对于 $y\in B_1 \cap B_2$ ，我们可以找到 $\delta_1,\delta_2>0$ ，使得 $B(y,\delta_1)\subset B_1$ 且 $B(y,\delta_2)\subset B_2$ ，那么只要令 $\delta=\min (\delta_1,\delta_2)$ 即可。

通过以上论证，我们可以用另一种方式定义度量拓扑：集合 $U$ 在由 $d$ 诱导的度量拓扑中，当且仅当对于所有的 $y\in U$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得 $B_d(y,\delta)\subset U$ 。

度量空间

定义（可度量化、度量空间）：一个拓扑空间 $X$ 被称为可度量化，如果存在一个在 $X$ 上的度量 $d$ 能够诱导出 $X$ 的拓扑；一个度量空间是一个可度量化的空间 $X$ 加上诱导出 $X$ 上拓扑的度量 $d$ 。

许多空间是可度量化的，但是有些不是。可度量化对于空间来说是一个非常好的性质，因为有些工具必须在配备了度量的情况下才能使用。因此，拓扑学中的一个基本问题就是找到能使空间可度量化的条件，这在以后的学习中会遇到。

空间的可度量化只取决于给定空间的拓扑，但是一个空间涉及具体的度量的性质在一般情况下不仅仅取决于拓扑本身。比如我们可以定义有界性：

定义（有界，直径）：令 $X$ 是一个具有度量 $d$ 的度量空间，一个子集 $A\subset X$ 被称为有界，如果存在一个数 $M>0$ 使得 $d(a_1,a_2)<M, \forall ~ a_1,a_2 \in A$ 如果 $A$ 是有界且非空的，那么 $A$ 的直径为 $diam(A) = \sup\{ d(a_1,a_2)~|~a_1,a_2\in A \}$

有界性不是一个拓扑性质，因为它取决于特定的度量 $d$ 。对于一个度量空间 $X$ ，如果其度量为 $d$ ，则存在另外一个度量 $\overline{d}$ 同样诱导出相同的拓扑，且在该度量下， $X$ 的所有子集都是有界的。事实上，我们有下面的定理：

定理：令 $X$ 是一个具有度量 $d$ 的度量空间，定义 $\overline{d}:X \times X \to \mathbb{R}$ 如下 $\overline{d}(x,y_ = \min \{ d(x,y),1 \}$ 那么 $\overline{d}$ 是度量，且 $\overline{d}$ 诱导的拓扑与 $d$ 诱导的拓扑相同。我们把 $\overline{d}$ 叫做 $d$ 的标准有界度量。

接下来我们考虑一些熟悉的空间，并且证明它们是可度量化的。

定义（范数，欧几里得度量，平方度量）：给定 $\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ 我们可以定义 $\mathbf{x}$ 的范数为： $\|\mathbf{x}\|=\Big( \sum_{i=1}^n x_i^2 \Big)^{\frac{1}{2}}$ 给定 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ ，我们可以定义欧几里得度量 $d$ ： $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \| \mathbf{x-y} \| = \Big( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \Big)^{\frac{1}{2}}$ 我们定义平方度量 $\rho$ ： $\rho(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max_{i\in\{1,\cdots,n\}} \big\{ |x_i-y_i| \big\}$

在实数轴 $\mathbb{R}$ 上， $\rho$ 和 $d$ 均退化为标准度量。在实平面 $\mathbb{R}^2$ 上， $\rho$ 诱导出的拓扑的基元素为正方形区域，而 $d$ 诱导出的拓扑的基元素为圆形区域。接下来的引理将拓扑的精细程度与度量联系起来：

引理：设 $d$ 和 $d'$ 为集合 $X$ 上的两个度量，且 $\mathcal{T}$ 和 $\mathcal{T}'$ 分别为其诱导的拓扑，那么 $\mathcal{T}'$ 比 $\mathcal{T}$ 精细，当且仅当对于所有的 $x\in X$ 和 $\epsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ 使得 $B_{d'}(x,\delta)\subset B_d(x,\epsilon)$

通过该引理，我们可以得出欧几里得度量诱导的拓扑与平方度量诱导的拓扑的关系。

定理：在 $\mathbb{R}^n$ 上由欧几里得度量 $d$ 诱导的拓扑和由平方度量 $\rho$ 的拓扑均和 $\mathbb{R}^n$ 上的积拓扑一致。

首先我们证明欧几里得度量和平方度量诱导的拓扑一致。设 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ ，容易知道 $\rho(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq d(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq \sqrt{n}\rho(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 因此我们有 $B_d(\mathbf{x},\epsilon) \subset B_\rho (\mathbf{x},\epsilon)~,~B_\rho(\mathbf{x},\epsilon/\sqrt{n}) \subset B_d (\mathbf{x},\epsilon)$ 故由引理知，这两个度量诱导的拓扑一致。接下来考虑积拓扑与平方度量诱导的拓扑的关系。我们知道， $\mathbb{R}^n$ 的积拓扑的基元素可以表示为 $B = (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_n,b_n)$ 令 $\mathbf{x} = (x_1,\cdots,x_n)\in B$ ，那么对于每个 $i$ ，存在 $\epsilon_i >0$ 使得 $(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i) \subset (a_i,b_i)$ 选取 $\epsilon = \min \{ \epsilon_1,\cdots,\epsilon_n \}$ ，那么 $B_\rho(\mathbf{x},\epsilon)\subset B$ 。另一方面，对于 $\epsilon>0$ ， $(x_1-\epsilon,x_1+\epsilon) \times \cdots \times (x_n-\epsilon,x_n+\epsilon) = B_\rho (\mathbf{x},\epsilon) \subset B_\rho (\mathbf{x},\epsilon)$ 因此积拓扑与平方度量诱导的拓扑一致。综上，三个拓扑均一致。

但是，当我们从有限维的 $\mathbb{R}^n$ 空间转向无穷维的 $\mathbb{R}^\omega$ 空间时，情况会发生变化。首先，如果我们简单地将度量推广到无穷，有可能会产生不收敛的情况。因此，在 $\mathbb{R}^\omega$ 中，我们定义另外一个度量：

定义（一致度量，一致拓扑）：给定一个指标集 $J$ ，给定 $\mathbf{x}=(x_\alpha)_{\alpha\in J}$ 和 $\mathbf{y}=(y_\alpha)_{\alpha\in J}$ ，则我们可以定义 $\mathbb{R}^J$ 上的一个度量 $\overline{\rho}$ ： $\overline{\rho}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sup \{ \overline{d}(x_\alpha,y_\alpha)~|~\alpha \in J \}$ 其中 $\overline{d}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的标准有界度量。很容易验证 $\overline{\rho}$ 确实是一个度量。我们称 $\overline{\rho}$ 为在 $\mathbb{R}^J$ 上的一致度量，且由 $\overline{\rho}$ 诱导的拓扑被称为一致拓扑。

定理：在 $\mathbb{R}^J$ 上，一致拓扑比积拓扑精细，比箱拓扑粗糙。如果 $J$ 是无穷集合，则这三个拓扑均不相同。

当 $J$ 为无穷指标集时，我们可能会关心 $\mathbb{R}^J$ 在箱拓扑和积拓扑下是否可度量化。事实上，只有当 $J$ 为可数集且拓扑为积拓扑的情况下，才有 $\mathbb{R}^J$ 可度量化。

定理：令 $\overline{d}(a,b)=\min\{a,b\}$ 为 $\mathbb{R}$ 上的标准有界拓扑，定义 $D(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sup \Big\{ \frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i} \Big\}$ 则 $D$ 是在 $\mathbb{R}^J$ 上诱导积拓扑的度量。

很容易验证 $D$ 确实是 $\mathbb{R}^J$ 上的一个度量，所以我们还需要证明的是，该度量诱导的拓扑为积拓扑。首先，令 $U$ 为度量拓扑的一个开集且 $\mathbf{x}\in U$ ，选取 $B_D(\mathbf{x},\epsilon)\subset U$ 以及正整数 $1/N<\epsilon$ ，令 $V$ 为积拓扑的一个基元素 $V=(x_1-\epsilon,x_1+\epsilon) \times \cdots \times (x_N-\epsilon,x_N+\epsilon) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots$ 注意到任取 $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^J$ ，我们有 $\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\leq\frac{1}{N},\forall~i\geq N$ 因此 $D(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq \max \Big\{ \frac{\overline{d}(x_1,y_1)}{1},\cdots, \frac{\overline{d}(x_N,y_N)}{N} , \frac{1}{N} \Big\}$ 因此如果 $\mathbf{y}\in V$ ，那么 $D(\mathbb{x},\mathbb{y})<\epsilon$ ，即 $\mathbf{y}\in B_D(\mathbf{x},\epsilon)$ 。因此积拓扑比该度量诱导的拓扑精细。反过来，考虑积拓扑的一个基元素 $U=\prod_{i\in \mathbb{Z}_+} U_i$ 其中对于 $i=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ， $U_i$ 为 $\mathbb{R}$ 的一个开集；对于其他 $i$ ，有 $U_i=\mathbb{R}$ 。对于任意 $\mathbf{x}\in U$ ，我们可以找到 $(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)\subset U_i,\forall~i=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ，对所有 $i=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 选取 $\epsilon_i<1$ ，定义 $\epsilon=\min\{ \epsilon_i/i~|~i=\alpha_1,\cdots,\alpha_n \}$ 令 $\mathbf{y}\in B_D(\mathbf{x},\epsilon)$ ，则对于所有的 $i$ ，有 $\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i} \leq D(\mathbf{x},\mathbf{y}) < \epsilon \leq \frac{ \epsilon_i}{i}$ 则如果 $i\in\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ，有 $\overline{d}(x_i,y_i)<\epsilon_i\leq 1$ ，即 $\mathbf{y}\in U$ 。因此该度量拓扑比积拓扑精细。综上所述，积拓扑与该度量拓扑相同。

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