前面文章秩和检验 (1)，笼统地介绍了秩和检验相关信息，现在介绍秩和检验的完整流程。
Rank / 秩
Rank，秩，是排名的意思。具体来讲，就是全部观察值按某种顺序排列的位序（通常是由小到大的顺序）。
举个例子，假设一个班有１０个同学，将这１０个同学按身高从低到高进行排列，就获取到这１０个同学的身高排名，第一个同学的排名为１，他对应的秩就是１；第二个同学的排名为２，他对应的秩就是２；以此类推。
在排序过程中，可能会出现身高相同的情况，这时候的秩取相同值排名的平均值。假设排在前两名的两个人的身高相同，则他们的秩都为(1+2)/2=1.5。
举例１：
一组数据：34, 39, 41, 28, 33，问33的秩
因为28<33<34<39<41，所以33的秩为2
举例２：
一组数据：0, 1, 1, 1, 2, 3, 3，问各个数的秩是多少
各个数对应的位序为：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3个1的秩为(2+3+4)/3=3
2个3的秩为(6+7)/2=6.5
Rank-sum / 秩和
秩和，是指对秩的求和，也就是将排名进行求和。秩和也是秩和检验构建的统计量。
举例１：
一组数据：34, 39, 41, 28, 33
秩和：T=1+2+3+4+5=15
举例２：
一组数据：0, 1, 1, 1, 2, 3, 3
秩和：T=1+2+3+4+5+6+7=28
这里有人可能会觉得疑惑，第二个例子中的秩为位序的平均值，不应该这样相加。其实，位序的均值相加，与原始值相加，结果是相同的。
举例３：
实验室测得两组各６人的尿蛋白，结果如下：
这个数据跟之前的两个例子有２点区别，首先，它是有两组数据；第二，它的观察值不是数值型资料，而是等级资料。秩和检验是非参数检验，不关注具体数值，只关注观测值大小排序。所以等级变量符合分析的要求。那么如何求这两组比较的数据的秩和呢？
首先，对这两组数据进行统一编秩。两组数据混合在一起就得到了１２个观察值，也就得到了１２个排名：
因为数据里有相同值，所以还需要对相同值的排名取平均。这样之后，就得到了每个观察值的秩。
而每组的秩和，就是每组内观察值对应秩的求和。经过计算，得到每组的秩和是这样的：
这就是秩和检验的统计量T，这里有两组秩和，因为两组总的样本量是确定的，所以总秩和是一个定值，知道了一组秩和，另一组秩和也是确定的。我们取样本量较小的那一组秩和进行分析。
P值的确定
还记得警察抓小偷的例子吗？（秩和检验 (1)）类比到秩和检验，如果零假设成立的话，两个总体分布位置是相同的。那么这两组观测值的分布位置也应该大体相同，它们的秩和不应相差太大。
这里的相差大小如何表示？用在零假设成立的前提下获取当前的统计量值的概率来表示。总体分布位置相同，两组秩和如果差值越大，那么发生的概率就越小。如果概率小于０.０５，这就是一件小概率事件。根据小概率原理，可以认为这件事是不可能发生的，于是我们有理由认为零假设不成立。知道统计量后，下面就是P值的确定了。
P值的确定主要分为不使用统计软件和使用统计软件。使用统计软件可以精确计算出统计量对应P值得大小；不适用统计软件，可以通过与特定概率对应的界值比较来确定P值的范围，从而给出统计结论和专业结论。目前不使用统计软件的情况只出现在统计相关的考试中，日常工作中，都会使用统计软件。
不使用统计软件，通常有两种方法：查界值表法和正态近似法。
查界值表法
秩和检验的查界值表法，是通过判断所得统计量是否在某个范围内，如果在范围内，它对应的P值是大于检验水准的，也就是接受零假设；如果不在范围之内，它对应的P值是小于检验水准的，我们就有理由拒绝零假设，认为两组的总体位置分布是不同的。以下界值表来源于教材截图：
以上面尿蛋白为例，n1=6，n2=6，选取双侧0.05的检验水准，对应的范围是26--52。而我们所获得两组秩和25和53都不在这个范围内，所以P值小于0.05。即，在双侧0.05的检验水准下，拒绝零假设，接受备择假设，认为两组尿蛋白等级分布不同。
正态近似法
前面展示的秩和检验的界值表中，两组的样本量都是不超10的。如果超过10，就无法使用界值表法了，这时候再不使用计算机的情况下，可以使用正态近似法。
当两组样本量至少有一组大于10时，T分布已经接近均数为n1(N+1)/2，方差为n1n2(N+1)/2的正态分布，可按以下公式直接计算ｕ值，按标准正态分布界定P值并做出推断结论。
将T=25，n1=6, n2=6 代入公式得ｕ＝2.1617>1.96，所以P<0.05。在双侧0.05的检验水准下，拒绝零假设，接受备择假设，认为两组尿蛋白等级分布不同。
注：公式中的0.5为连续性校正数，因为ｕ分布是连续的，而T分布是不连续的。在SAS官方文档中，有对连续性矫正进行描述：
Continuity Correction
PROC NPAR1WAY uses a continuity correction for the asymptotic two-sample Wilcoxon and Siegel-Tukey tests by default. You can remove the continuity correction by specifying the CORRECT=NO option. PROC NPAR1WAY incorporates the continuity correction when computing the standardized test statistic z by subtracting 0.5 from the numerator if it is greater than 0. If the numerator is less than 0, PROC NPAR1WAY adds 0.5. Some sources recommend a continuity correction for nonparametric tests that use a continuous distribution to approximate a discrete distribution. (See Sheskin 1997.)
If you specify CORRECT=NO, PROC NPAR1WAY does not use a continuity correction for any test.
使用统计软件——SAS
我们日常工作使用的统计软件是SAS，SAS中使用NPAR1WAY过程步，实现Wilcoxon秩和检验。以尿蛋白的数据为例，代码如下：
***Read the data;
data test;
input group $ grade @@;
datalines;
A 1 A 2 A 3 A 3 A 3 A 4
B 3 B 4 B 4 B 4 B 5 B 5
;
run;
***Rank-sum test;
proc npar1way data = test wilcoxon;
class group;
var grade;
run;
SAS代码运行后，输出结果如下。结果分为两个部分，分别为基本的统计描述与秩和检验结果。秩和检验分为Wilcoxon双样本检验和Kruskal-Wallis 检验，本例为两组独立样本资料，所以要看Wilcoxon 双样本检验；如果是多组独立样本，需要看的是Kruskal-Wallis 检验结果。
P=0.0247<0.05。在双侧0.05的检验水准下，拒绝零假设，接受备择假设，认为两组尿蛋白等级分布不同。
SAS编程工作中，还需要提取秩和检验的P值，按照TFL Shell的布局，经过整理后，放置到合适的位置。获取SAS程序中获取秩和检验的P值，一般有两种方法：
***1;
ods output WilcoxonTest = wt1;
proc npar1way data = test wilcoxon;
class group;
var grade;
run;
ods output close;
***2;
proc npar1way wilcoxon data =test;
class group;
var grade;
output out = wt2 wilcoxon;
run;
两者输出的数据集如下，两种方法输出的变量名称以及保留的小数位数也差异，编程的时候需要注意。
校正问题
我们可以看到，正态近似法运算得出的ｕ=2.1617，而SAS统计软件输出的ｚ=-2.2458。这两个数的绝对值应该是相同的，为什么会有这样的差异呢？我在教科书中发现了这样的描述：
对应到尿蛋白数据中，有４个观察值为“＋”，有４个观察值为“＋＋”，有２个观察值为“＋＋＋”，所以对应的ｔ值分别为4, 4, 2，重复值占比为83.3%(10/12)。代入公式，Ｃ= 0.927739，进而计算出校正的ｕ＝2.2443，这个跟软件计算出的ｚ值非常接近了，但还是有差异。
我用教科书上的数据，进行验证了下：
以下应用代码验证：
***Read the data;
data test2;
input group $ grade freq @@;
datalines;
A 1 11 A 2 65 A 3 83 A 4 23
B 1 12 B 2 51 B 3 98 B 4 60
;
run;
***Rank-sum test;
proc npar1way data = test2 wilcoxon;
class group;
var grade;
freq freq;
run;
SAS运行结果如下，
教科书中，相同秩次数过多，校正后的值为3.5961, SAS结果中显示的值为-3.5960。可以推断，SAS程序运行是默认相同秩次过多的校正的。但是，我一时没有在官方文档中发现控制这个校正的选项。
我在项目TFL Shell中，发现了以下这句话，这里的“multiplicity adjustment”／多重性调整，应该是指在相同观察值过多的情况下所进行的校正。我在参考的代码中没有发现对应这个校正的选项代码。由于我们有效性指标是试验室测得的连续性观察值，出现相同观察值的可能性很低，所以SAS“默认的校正”=不进行校正。以上只是我的一些推测。
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