我们通常会认为数学跟其他的学问一样，总是从感性经验当中汲取出来它的一般形式，但希腊人不是这么想的。
希腊认为数学所讨论的数量关系和空间关系都来自理性自身，并不借助于外部经验世界的证实，不是从外部吸取而来，因此我们要强调这个概念：Purereason，纯粹理性。凡是纯粹理性做出的判断，里面都没有感觉材料。就像我们先前说过的，有一个世界被区分出来了，这个世界叫可知世界。我们平时感觉到、经验到的世界叫可感世界，在可感世界中事物总是变化，生生灭灭，可知世界的事物不变，它不朽。
三角形三内角之和等于180度，这件事情不会发生变化。可感世界的事物，始终在变，可知世界的事物不生不灭。于是几何学的研究、几何学的演算，变成一件什么事？
成为这样一件事：当我们从事几何学运算的时候，我们自己就进入了一个不朽的世界里，我们摆脱了在现实世界中的生存的所有偶然性和变化。
当我们从事几何思考的时候，我们就摆脱了轮回，超越了存在的偶然性，我们跟不朽站在一起了。
正因为如此，当阿基米德在他的屋前的沙地上演算一道几何题的时候，罗马士兵冲过来了，罗马军队占领了他的家乡，冲过来的罗马士兵要杀阿基米德。阿基米德跟罗马士兵说你们等一等，等我把这道题目几何题演算完毕，你们再动手吧。阿基米德面对死亡，却如此的坦然，为什么？
当他在演算几何题的时候，他已经跟不朽站在一边了。
对古希腊的数学家几何学家来说，数学的研究没有任何实用的功利的目标，它是灵魂最高的享受，灵魂最高的享受就是——灵魂跟不朽在一起。
灵魂因为它的理性地运用，它本身成了不朽的，它摆脱了对生死的区分，对死亡的恐惧，摆脱了存在的偶然性、摆脱了轮回。
所以毕达哥拉斯学派特别有重大的意义，这个学派在数学、数论上的贡献，几何学上的贡献，同时也是哲学的贡献。他们用这个方式来完成自己的终极关怀，人生的终极关怀。这叫数的宇宙观。
在数的世界里，就在不朽的世界里，数与数之间的和谐比例的关系是不朽的，它就是宇宙的构造本身。
毕达哥拉斯学派就是这样断言了，这是哲学的断言，是对世界的理解，有了这种理解才产生科学。
科学是从哲学的母体里边分化出来的，我们可以想一想，西方近代以来的自然科学的一个基本特征是什么？它把它所研究的自然状态要成功地放到数学公式里去，放成功了，自然状态的奥秘就算被揭示了。
如果某种自然状态不能成功地被放到一个数学公式里去，这个自然状态就还没有被把握好，这就是近代自然科学的特征。
这个特征来自哪里？它的思想的渊源就是毕达哥拉斯的数的宇宙观。
当我们今天去看西方近代以来的自然科学的共同特征的时候，我们就会发现：那是在量化地描述自然状态。自然状态应当符合数学的理性，因为它本来就在数学的理性中。
毕达哥拉斯这个古老的哲学学派，今天仍然具备意义。这是一条哲学上的信念。倘若没有毕达哥拉斯学派的数的宇宙观，怎么会有今天的量化的自然科学呢？我们从这个例子中就可以清晰地看到，哲学与科学的关系。我们中国的科学不是量化的，不是要求把自然状态放到数学公式里去。
各位如果学过物理学的话，一定还记得物理学的第一堂课就是学测量，为什么？物理学当然是门经验科学，它建立在观察的基础上，实验的物理学家始终在实验室里观察着，什么是观察？观察就是测量。假如你从未测量过什么，你等于根本没观察过什么，请注意这一点。物理学讲的经验观察，这实际上是对事物的测量，测量就本身表明：要求把自然状态理解为同时符合数学理性的一种状态。
今天的物理学家区分为两类人，一类叫实验的物理学家，一类是理论的物理学家，他们之间是一种分工。实验的物理学家在实验室里面做实验，倘若他们的幸运使得他们在实验室里发现了一种前所未有的自然状态，他们就写实验报告，描述自然状态，这个描述方法就是一连串的数据。实验报告出来了，交给理论物理学家。理论物理学家从来不做实验，也从不到实验室去，他们凭的是一个头脑，一张纸，一支笔。现在，理论物理学家得到了实验物理学家的报告，报告宣称：一种新的从未发现过自然状态来了，于是理论物理学家在自然状态一连串的数据找出它其中的规律，运用数学的理性把这些数据做成数学公式，能揭示的规律，如果做成了，一条物理学新定律来了，这叫成功了。假如总是没办法放到数学公式里，结果理论的物理学家就跟实验的物理学家就这么宣布：你去检查你的实验，你所谓新发现的自然状态是根本不存在的。实验的物理学家果然去检查他的实验了，会发现他有许多数据是错的，他的实验过程发生了差错，这种差错倒是理论物理学家发现的。
理论物理学家为什么能发现实验物理学家的实验有差错呢？
因为实验物理学家所报告的那些数据无法放入数学公式，这就是这两类物理学家的关系。
西方近代的科学观念就是如此，近代以来，一门学问的科学的程度取决于它运用数学的范围和深度。
比如说在社会科学的领域里，有一门叫经济学，它认为自己是所有社会科学当中最符合科学之标准的，因为它能运用数学。如果你要进入，比方说到复旦大学经济学院读书，你就要考数学。经济学的研究要求对经济现象建立数学模型，在社会科学中，凡是能运用数学做工具的学科，越认为自己符合科学的标准。这样一种“科学之为科学”的思想，其渊源处就在毕达哥拉斯的数的宇宙观里。
毕达哥拉斯学派如此回答宇宙的本源问题，但是问题并没有解决，因为数虽然是摆脱了可感事物对他的束缚，但同时他总是用来整理可感事物，而不能来讨论完全超感觉的事物。所以真正的超感觉的世界，它的真理并不停留在数学的真理中，所以西方思想继续前进。
