第23课微分方程和exp(At)

怎么求解一阶方程？

怎么求解一阶导数？

怎么求解常系数线性方程？

将它们转换成线性代数问题的思路是常系数线性方程解是指数形式的。如果找一个指数形式，得找到指数是多少？及它的系数是多少？然后就是线性的活了，这会和矩阵的乘幂完全平行

例：微分方程
$\frac{\mathrm du_1}{\mathrm dt} = -u_1+2u_2\\ \frac{\mathrm du_2}{\mathrm dt} = u_1-2u_2\\ \to A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}$
初始值 $u(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$
$A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix} \\ \begin{align} \to\begin{vmatrix}A-\lambda I\end{vmatrix} &=\begin{vmatrix}-1-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{vmatrix}\\ 0&=ad-bc \\ 0&= (-1-\lambda)(-2-\lambda)-2 \\ 0&=2+\lambda+2\lambda+\lambda^2-2\\ 0&=\lambda^2+3\lambda \\ 0&=\lambda(\lambda+3)\\ \end{align}\\ \to \lambda_1=0;\lambda_2=-3$
$\lambda = -3$
$\begin{align} A\lambda x & = \begin{bmatrix}-1-(-3)&2\\1&-2-(-3)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \\ 0 & = \begin{bmatrix}2&2\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \\ 0 & = \begin{bmatrix}2x_1+2x_2\\x_1+x_2\end{bmatrix} \end{align}\\ \to \begin{cases}2x_1+2x_2=0\\x_1+x_2=0\end{cases} \to x_1=-x_2$

$\lambda = 0$
$\begin{align} A\lambda x & = \begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \\ 0 & = \begin{bmatrix}-x_1+2x_2\\x_1-2x_2\end{bmatrix} \end{align}\\ \to \begin{cases}-x_1+2x_2=0\\x_1-2x_2=0\end{cases}$
$\to \begin{cases} \begin{align} -x_1+2x_2 &= x_1-2x_2\\ -2x_1&=-4x_2 \\ x_1&=2x_2 \end{align} \end{cases}$
$x_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\\ Ax_1=\lambda_1x_1 \to \begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}= 0\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}-1\times2+2\times1 = 0\\1\times2+-2\times1=0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\times2=0\\0\times1=0\end{bmatrix}\\ x_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\\ Ax_2=\lambda_2x_2 \to \begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}= -3\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}-1\times1+2\times-1 = -3\\1\times1+-2\times-1=3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-3\times1=-3\\-3\times-1=3\end{bmatrix}$

函数 $u$ ，自变量 $t$

$u(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}\approx c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2$

导数
$\frac{\mathrm du}{\mathrm dt} = \lambda_1e^{\lambda_1t}x_1\\ Au=Ae^{\lambda_1t}x_1 \\ \frac{\mathrm du}{\mathrm dt} = Au \to \lambda_1x_1 = Ax_1\\ u(t) \underbrace{=}_{将x_1,x_2代入得} c_1e^{\lambda_1t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+ c_2e^{\lambda_2t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \underbrace{=}_{将\lambda_1,\lambda_2代入得} c_1e^0\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+ c_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\\ t=0;u(0) = c_1e^0\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+ c_2e^0\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\\ \to \begin{cases} 2c_1+c_2=1\\ c_1-c_2=0 \end{cases}\\ \to c_1=c_2=\frac{1}{3}$

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