欧拉角旋转矩阵内外旋的等价性

下文中, 绕坐标轴 $i$ 旋转角度 $\theta_i$ 的旋转矩阵表示为 $\mathbf{R}_i (\theta_i)$ , 其中 $i\in\{x, y, z\}$ .

Unity 中, 欧拉角 $(\theta_x, \theta_y, \theta_z)$ 表示的旋转顺序是 $z-x-y$ 的外旋(extrinsic rotation).

设初始坐标系为 $E$ . 设点 $P$ 在 $E$ 中坐标为 $\mathbf{p}$ , 顺序为 $z-x-y$ 的外旋的意义是：

$P$ 绕 $E$ 的 $z$ 轴旋转 $\theta_z$ ，得到点 $P_1$ 的坐标 $\mathbf{p}_1 = \mathbf{R}_z(\theta_z) \mathbf{p}$ .
$P_1$ 绕 $E$ 的 $x$ 轴旋转 $\theta_x$ , 得到点 $P_2$ 的坐标 $\mathbf{p}_2 = \mathbf{R}_x(\theta_x) \mathbf{p}_1$ .
$P_2$ 绕 $E$ 的 $y$ 轴旋转 $\theta_y$ 得到目标点 $P^\prime$ 的坐标 $\mathbf{p}^\prime = \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{p}_2$ .
于是
$\mathbf{p}^\prime = \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x) \mathbf{R}_z(\theta_z) \mathbf{p}.$

顺序反过来( $y-x-z$ )的内旋(intrinsic rotation)和上述外旋的结果是一样的. 内旋的意义是

$P$ 绕 $E$ 的 $y$ 轴旋转 $\theta_y$ ，得到点 $Q_1$ 的坐标 $\mathbf{q}_1 = \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{p}$ . 坐标系经过同样的旋转形成新的坐标系 $E_1$ .
$Q_1$ 绕 $E_1$ 的 $x$ 轴旋转 $\theta_x$ , 得到点 $Q_2$ . 这个操作，等价于先把 $E_1$ 转回 $E$ (应用变换 $\mathbf{R}_y(\theta_y)^{-1}$ )，然后绕 $E$ 的 $x$ 轴旋转 $\theta_x$ (应用变换 $\mathbf{R}_x(\theta_x)$ ), 再将 $E$ 转到 $E_1$ (应用变换 $\mathbf{R}_y(\theta_y)$ )，所以 $Q_2$ 在 $E$ 中的坐标为
$\mathbf{q}_2 = \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x) \mathbf{R}_y(\theta_y)^{-1} \mathbf{q}_1 = \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x) \mathbf{p}$
坐标系 $E_1$ 也在上述变换作用下变成 $E_2$ , 相对 $E$ 而言是应用了变换 $\mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x)$ .
$Q_2$ 绕 $E_2$ 的 $z$ 轴旋转 $\theta_z$ , 得到 $P^{\prime\prime}$ . 类似地，这等价于将 $E_2$ 转回 $E$ , 绕 $E$ 的 $z$ 轴旋转 $\theta_z$ , 再将 $E$ 转回 $E_2$ , 即
$\begin{aligned} \mathbf{p}^{\prime\prime} &= (\mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x)) \mathbf{R}_z(\theta_z) (\mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x))^{-1} \mathbf{q}_2\\ &= \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x)\mathbf{R}_z(\theta_z)\mathbf{p}\\ &= \mathbf{p}^\prime. \end{aligned}$