下文中, 绕坐标轴 
旋转角度 
的旋转矩阵表示为 )
, 其中 
.
Unity 中, 欧拉角 )
表示的旋转顺序是 
的外旋(extrinsic rotation).
设初始坐标系为 
. 设点 
在 中坐标为 
, 顺序为 的外旋的意义是：
-
绕 的
轴旋转 
，得到点 
的坐标 %20%5Cmathbf%7Bp%7D)
.
-
绕 的
轴旋转 
, 得到点 
的坐标 %20%5Cmathbf%7Bp%7D_1)
.
-
绕 的
轴旋转 
得到目标点 
的坐标 %20%5Cmathbf%7Bp%7D_2)
.
于是
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%20%5Cmathbf%7Bp%7D.)
顺序反过来(
)的内旋(intrinsic rotation)和上述外旋的结果是一样的. 内旋的意义是
-
绕 的 轴旋转 ，得到点
的坐标 %20%5Cmathbf%7Bp%7D)
. 坐标系经过同样的旋转形成新的坐标系 
.
-
绕 的 轴旋转 , 得到点
. 这个操作，等价于先把 转回 (应用变换 %5E%7B-1%7D)
)，然后绕 的 轴旋转 (应用变换 )
), 再将 转到 (应用变换 )
)，所以 在 中的坐标为
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%5E%7B-1%7D%20%5Cmathbf%7Bq%7D_1%20%3D%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7Bp%7D)
坐标系 也在上述变换作用下变成 
, 相对 而言是应用了变换 %20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))
.
-
绕 的 轴旋转 , 得到
. 类似地，这等价于将 转回 , 绕 的 轴旋转 , 再将 转回 , 即
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))%20%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%20(%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))%5E%7B-1%7D%20%5Cmathbf%7Bq%7D_2%5C%5C%20%26%3D%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%5C%20%26%3D%20%5Cmathbf%7Bp%7D%5E%5Cprime.%20%5Cend%7Baligned%7D)
