每到年末时节，各种年终总结就扎推袭来，有扎心，也有精彩，更多的还是感慨。2019年，各位老师还是关关难过关关过，教育的路上，免不了焦虑，也收获了成长，偶念过往，无畏将来。
数学是一场游戏。
数学到底学什么？我们为什么要学数学？数学真的跟现实生活息息相关吗？我们学数学到底学的是什么？
大家都说中国的数学课程比国外的难很多，中国的基础教育扎实，中国学生的数学可以碾压国外学生。我反思的结论是： 我们数学课的问题不在于难度，而在于我们的数学课堂上压根就没有数学。
为什么国外学校可以容忍我们认为的特别低级的运算无能，但是他们却依然能够培养出那么多优秀的数学家？我们学数学究竟是学一种运算技巧，还是学一种数学思维？我反思的结论就是： 数学是一场游戏。
因为数学是可以脱离现实生活，在完全想象的世界里进行逻辑运算的东西，数学最大的骄傲，就是可以与现实生活完全无关。我们现在把数学公式都背得很熟练，把几何的原理背得很熟了，然后用不断地做各种各样的题。
这就相当于我们玩游戏的时候，我不让你体验游戏的过程，我只告诉你，摁前进，摁五下，然后跳，往左边走，然后打，最后到了关卡，你记住上上下下，左右左右，ABBA，你把这些都记住，然后一遍一遍去训练，就可以完成任务。
大家觉得这样的游戏还有意思吗？这还是游戏吗？游戏的目的不是结果，而我们看到的所有的公式，其实就是游戏的结果，运用得再熟练，也无助于我们体验游戏的精髓。
我们需要具备的，是独立的思考、有创造力的思考，我们最不需要的就是“被训练”。就如高斯所说： 我们需要的是想法，而不是符号。
数学的学习方式就像我们看电影或是看书一样，比如：我们看《西游记》，我不告诉你唐僧为什么取经，他经历了什么事情，我就告诉你唐僧经过了九九八十一难，最后取回了真经，你要记住这八十一难都是什么，这个顺序还不能乱，最后考试的时候你要把每一难的名字答上去就算通过了。
大家觉得这样的阅读是正确的吗？如果大家觉得这样看书是不对的，为什么这样学数学就是对的呢？其实数学和所有的文学、艺术、影视作品一样，都是人类为了娱乐自己创造出来的。
而且它比我们所有的游戏，比如足球、篮球、和我们看到的所有电影都更自由。因为这些游戏非常依赖于我们这个现实世界的物理性质，而数学是可以完全天马行空的创造出一个世界来，那个世界的规则完全可以由你来决定。
你只要把你想要解答的题目的条件带入，使用一种严谨的推理，找出答案就可以了。这就是一个更加自由、更加考验创造力的游戏。
02
数学训练一种数学思维。
我们数学最大的问题，我们每个人都“隐约”记得一些公式和定义，但清晰记得我们对它们的“憎恨”！我说数学其实就是一种游戏，你可以在你想象的世界里去制定规则，考验你的创造力。
我们举一道“鸡兔同笼”题，相信所有的孩子都被考过这道题： 笼子里有鸡和兔若干只， 笼子里有 25 个头和 70 只脚，问兔子和鸡各有多少只？
我不知道大家是怎么做的题，我就记得我学这道题时，是在第一次学一元一次方程式，老师告诉我标准答案是——我们假设兔的数量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
鸡＝25－10＝15（只）
这么做对不对呢？肯定是对的。那这道题这么做好玩吗？肯定不好玩。“鸡兔同笼”其实有特别多的证法，我给大家举一个特别好玩的例子：
你想象一个世界，这一笼子的兔子和鸡就在这个想象的世界里，你站在这个笼子前面，一声令下，所有的动物都抬起一只脚，这个时候还有多少只动物站着？70－25＝45 只，还有 45 只脚站着。
你再一声令下，所有动物又都抬起一直脚站着，这时候还有45－25＝20 只脚站着，但是鸡已经一屁股坐地上了，因为鸡只有两只脚全抬起来了，那站着的全是兔子，这 20 只脚全是兔子的，所以兔子有 10 只，鸡就是 15 只。
这样解这道题就好玩，这道题还有很多种解法：
假设鸡也有四只脚，因为我们没有把它的翅膀算做脚，我们假设所有的鸡也有四只脚，那 25 个动物里面应该有 100 只脚，那为什么只有 70 只脚呢？
因为有 30 个（100－70＝30）翅膀没有算做脚嘛！那 30 个翅膀肯定就是鸡的了，所以就是 15 只鸡。
我们再举个例子： 长方形里面有一个三角形，问这个绿色的三角形面积和旁边蓝色三角形面积的比是多少？ 正常来说我们的标准答案是：
三角形的面积＝1／2×底×高
矩形面积＝底×高
这么一算矩形内三角形内和三角形外的面积比是 1︰1。这么解对不对呢？肯定对！那这么解好不好玩呢？肯定不好玩。我们来说另外一种解法，还是放到我们想象的世界里：
把它想象成一张纸，我们从三角形顶点向下画一条线，把它撕开，它变成了两个方形，每一个方形都被对角线分割成了一模一样的两个部分，也就是每一个方形里面绿色和蓝色部分的面积都是一样的，他们合起来的面积也是一样的，也是 1︰1。
什么是数学思维
思维是人的一种高级的心理活动形式。数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。
数学思维给你的是重新看世界的一双眼睛，看这个世界的另外一种眼光。有的时候它可能跟我们对这个世界的直觉理解会比较大的的区别，举个例子： 大家觉得，自然数、偶数和奇数这三种数哪个数的数目多？
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 ……自然数
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 ……偶数
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 ……奇数
我们从直觉上感觉偶数和奇数组合成了自然数，自然数自然比它们多。但是从数学角度来说它们三个数是一样多的，因为他们三个的数目都是无穷。
我再举个例子：减肥，从某种数学的角度来说，减肥这个事是不可能的。因为想要减掉 10 斤，首先得减掉 5 斤，那想减掉 5 斤，就得先减掉 2.5 斤，想要减掉 2.5 斤，就先得减掉 1.25 斤。这个是无穷的对折，但人无法减掉一个无穷的数，所以减肥是不可能的。
就像龟兔赛跑。只要乌龟先跑，兔子就永远都追不上。为什么？因为兔子永远要到达乌龟之前到达的那一个点，那兔子只要到达那一个点，那乌龟就又往前移动了，所以兔子永远都无法追上乌龟。
我们知道这个在现实生活中是不可能的，但是大家想想，这一个一个的著名“悖论”，就是数学家在玩的一个一个游戏。
那应该要怎样锻炼数学思维？我觉得要把每一个数字都看成游戏中的一个元素。忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜欢的方法去求证问题，然后不断试错。
