1
极限 无限趋近，但是不能到达。无限趋近，意味着不存在任何一个确定的数，序列和某个数之间的差值不小于它。
这就把任何确定的有限的间隙给排除掉了
2
分数和无理数譬如根号2的区别。
前者可以基于给出分数的分子和分母的相除的计算得到。后者，则是某种指称词组：由给出一个蕴含代数的真句子，通过求根的方式得到的代数意谓的数。这是一个不精确的比喻。代数的求根最后化为一个算术句子，可以基于运算得到。但是这里的无理数根号2，并不能给出一个有限的算术句子，这个算术句子的表达式表示这个数。可以给出一些数学上无穷趋近它的，但是本身也是无穷迭代的表达式。在经验的工程中，基于精度的要求选取相应有限的迭代，经计算得到确定精度的近似值。
3数和数字
可以用分数 或函数比如根号2来指称一个数。另一方面，日常经常给出一个具体的有限位的数，比如2.3。
后者表示一种认识论上结果的数。现象的东西。比较之下，前者比如分数表示的是一个本体论上的数。
日常习惯了对于数的序列，比如从0到1的所有数，用后者的序列来表示。但是这种表示的问题在于，任何一个数都基于绝对精确而言，没法穷尽给出。0.1并非一个绝对精确的数，因为后面的位的数还没有考察，给出。如果考虑0.1表示一个绝对精确的数，它就是一个其余位为0的数。但是1/3，就是一个无限精确的数
这里的问题在于考虑数的连贯或连续，在绝对而非有限精确而言。存在这样一个连续序列的给出么？基于给出一段线，合法地设想构成它的点的连续性的存在。但是，这么考虑的时候，已经把连续点看作本体论或指称的形式所表示的东西，在本体论上是无穷的或无限的，而不可给出不可表示出来。存在和表示并非都成立。
罗素用逻辑来谈数的方式，指称词组的表示形式，也并不处理这个表示问题。他只是分了一个类，可以用分数表示的有理数，和不可以用分数表示的无理数。指出数的连续中，分数之间存在空隙。这就是无理数存在的空间。但是，只是基于无理数，还是难以谈论数的连续。这里指出来的只是分数之间空隙的存在，但是并不保证无理数的填充可以补足这个空隙。
到最后，数的连续似乎都受到怀疑。数最后总是能够用作为指称词组的分数和无理数比如π所可以穷尽的，而基于给出来的诸多谈论它们之间的连续性么？似乎不能。这里，似乎可以谈论的数的序列，并不存在连续性可言。那么，如果数的本体以离散的数列存在，如同原子存在尺度，从而由原子所构成的事物的尺度也必然存在精度的极限，而非无限精度的数为尺寸。
这么考虑的话，谈论数的连续或一个数的无限精度，就是本质主义的用法，而无意义。
数的连续是无限的东西，不是有限的我可以谈论。
人可以在有限的数之间谈论序列。
3
真正的无理数理论发现很迟的原因在于一个错误的信念，就是以为分数的序列必定总有“极限”(Iimit),“极限”的概念非常重要,在继续讨论以前,最好先作“极限”的定义:
设有一项x,一类α及一关系P,如(1)对于P而言,a没有极大,(2)a的每一属于P的关系域的分子都先于x，(3)P的关系域中先于x的每一分子先于a的某一分子(所谓“先于”意即“对于其它东西有P关系”),合乎这三个条件,即称x为对于P而言的类a的“上极限”。
在以上定义中假定了“极大”概念,现在再定义极大概念如下设有一项x，一类a及一关系P，如x为α的一分子，并且属于P的关系城，又x对于a中其它任何分子均无P关系，则称x为对于P而言的a的“极大”。
/(3)P的关系域中先于x的每一分子先于a的某一分子(所谓“先于”意即“对于其它东西有P关系”)
这一句，指出不存在另一个y：它先于x，并且y符合3。因为（3）要求x和a的成员之间不存在可以安置一个数的空隙。x和a之间存在空隙：但是这个空隙不足以安置任何数。这就是无限接近但是不等于0 的数列和数0之间的关系。
罗素这种措辞或语言上的谈论方式，是一种基于命题的真来界定所要谈论的事物的方式。弗雷格基于概念来刻画对象，也是同一类表达。语境原则。只是弗雷格还只是着眼于单个的句子的考察。所以和直观的经验的表达和理解相联系。罗素则把命题之间的推理纳入审视。w的世界作为事态而非事物所构成，作为本体论，则是推到尽头。
罗素对于数学使用最基本的关系，比如先后关系，它们作为理解中某种直接或直观可以认识的逻辑，来描述。这就是逻辑为数学奠基的工作。
后面的论指称，也是这种工作方式。
关系之于数，如同弗雷格的概念之于对象。用w的事态作为本体论，根本就不能脱离关系来考虑数。数作为关系之先存在的本体论，是错误的理解。
而从物自体 我或它的存在为前提推出来的其任何性质，都是逻辑上错误的。它们的存在可以看作某种不能进一步推理结论的结论，是知识之路的尽头。而任何关乎世界的事实，不是从它们的存在为条件的推论，而是作为推论它们的前提的事实本身。因此它们的存在，如果非要预设实体和属性的关系 我和我思的联系 它和世界的联系，那么它们的存在是不通往任何结论的东西。如同不再咬合带动齿轮的存在，空的知识。或者生命的传递里骡子那样不孕不育的物种。它们自身不是现象的因果相继中的一个切片。它们是人为的知识。没有必要的知识。
并非所有数字符号都有意义。比如3.1415...指谓圆周率。在这里，在指称和意谓的区分而言，那个是指称，哪个是意谓？就概念而言，表达式的给出方式而言，圆周率作为一个对子的比值，它实指某个数，虽然还并不能在数字上准确给出这个数。而3.1415...是什么？表示这个数的数字符号。这里的问题是省略号，它可以省略而无损于这个数的表示么？不能。因为省略号可以省略的是比如0.3333...后面符号基于规律性重复可以预测的情况。无理数不可以省略。
3.1415...+0.0001，或考虑基于这个无理数的无穷小的变化的一个数有意义么？这种基于无穷小变量的连续的考虑能够到达任何一个并非无穷小的尺度么？数是连续的么？物理世界、空间是连续的么？平时我们觉得物体在空间之内基于空间的连续性而被考虑。但是反过来，空间基于物体的存在原子的存在而有尺度可言。脱离物体还能有意义地谈论尺度和长度么？或者，脱离运动和变化，谈论时间还有意义么？
或者说，脱离物体或世界考虑空间的无限精密，有意义么？空间作为世界的框架，不是在脱离世界而言，而是作为实在的分析所得的概念。就是说，在多和一的关系之中，那多的形式始终要勾连多的存在的尺度粒度。时间也是，总是作为针对或者现象或者逻辑之间的先后秩序而言的。
那么数呢？无限连续的数所构成的并非无限小的尺度，怎么被谈论？譬如一个棍子，有意义地谈论它的尺度，基于可思的事情它嵌入其中的背景的区别，可以是某种应用场合所要求的东西。比如几米长，几步长。落到材料的特性上，原子的粒度是起长度最小的单位。半原子直径的尺度，对于它的长度而言没有意义。
离开物理，无限的数基于什么有意义？圆周率作为无理数，虽然无限，但是确定的是其定义：基于圆周和直径的确定给出考虑其比值。或者无限但是循环的数，可以化为一个分数。它们都可以看作确定数的关系。不可以不给出这关系的前提下，悬空设想在任何有理数或无理数附近存在的无限的数,或者说，设想数的连续。
离开具体关系的给出设想数的连续，本身是问题。或者说数基于关系而被确定，类似指称词组和其意谓的关系。这是一个语法句子。对其违背是和逻辑的悖逆，而非基于经验而不合法。类似的是可见的现象和可思的理念世界之间的关系：离开理念的本体论来理解现象，就现象理解现象，没有出路。旋转的陀螺撇开轴心的存在来理解它，这和旋转的定义有悖，使得理解不可能。
数的连续性不是有限的人可知的，不知道那在说什么。那时是无限的它才可知的。这属于绝对知识。人可以基于直觉设想数的连续性的存在，设想理念的存在，但是没法认识其内容。这样的直觉和设想并不带来任何经验的结论。
用逻辑表示别的东西。逻辑本身就是一种关系中确定的东西。
4
“上极限或极大”的概念常是很重要的概念，我们简称之为“上边界”(upperboundary),因而，在一序列中，任取一些项的集合,如若它有末项,它的上边界即是它的末项，如若它没有末项,但若在它所有各项之后仍有一些项,它的上边界即是这些项的首项。如若一项集既没有一个极大也没有一个上极限，那么也没有上边界。至于“下边界”即是下极限或极小。
/上边界可以作为序列的一项，末项。也可以并不属于系列，而在序列之外。
5
在第四种情形中，我们说有一“空隙”:上部和下部都没有一个极限或末项。我们也可以说在这样的情形中我们有一个“无理分割”，因为分数序列的分割有一些“空隙”,这些空隙即对应于无理数。
/比如，类1/n和类-1/n（n属于自然数）之间构成戴氏分割的最后一种情况。不对。0还可以作为两者的一个极限。
在无理数的情况里，它不可以用分数表示，在分数序列之外。试图用分数的渐进（这渐进构成一个序列）其极限来表示它时，并不在分数序列中存在其极限。
关于无理数。
实数由有理数或分数和无理数组成。就是说，实数作为分别的有理数和无理数的集合。实数并不存在一个撇除有理数和无理数其集合之外的定义。这里就可以看到关于数的连续性或无限连续看作想当然的性质其错误。并不天然存在连续的数。存在种种序列，但是除非论证并不存在数的连续的性质。
而无理数，也是由不同有理数之间的给出关系所产生出来的。它们之间本质上不可通约。使用表达式表示一个无理数，这个表达式本身还是无限递归而非有限的算术句子（分数）。
数的连续的设想，联系于空间的连续。
6
如一个序列的每一个分割都有一个边界，无论是上边界还是下边界:则此序列称为“戴氏的”序列。
