最大熵模型

最大似然函数 $L(x;\theta )=\prod_{x}p(x;\theta )^{\bar{p} (x)}$

解释：

一般形式是 $L(x_1,x_2,...,x_n;\theta )=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta )$

假设样本集大小为n，X的取值有k个： $v_1,v_2,...,v_k$ ，用 $C(X=v_i)$ 表示在观测值中样本xi出现的频数。

$L(x_1,x_2,...,x_3;\theta )=\prod_{i=1}^k p(v_i;\theta )^{C(X=v_i)}$

$L(x_1,x_2,...,x_3;\theta )^{\frac{1}{n}}=\prod_{i=1}^k p(v_i;\theta )^{\frac{C(X=v_i)}{n}}=\prod_{i=1}^k p(v_i;\theta )^{\bar{p(v_i)} }=\prod_{x} p(x;\theta )^{\bar{p(x)} }$

显然：对 $L(x_1,x_2,...,x_3;\theta )^{\frac{1}{n}}$ 和对 $L(x_1,x_2,...,x_3;\theta )$ 优化是等价的

故得证。

忽略θ，更一般的公式：

$L_{\bar{p} }=log\prod_{x,y}p(x,y)^{\bar{p}(x,y) }$

$L_{\bar{p} }=\sum_{x,y}\bar{p}(x,y)\log p(x,y)$

$L_{\bar{p} }= \sum_{x,y}\bar{p}(x,y)\log( \bar{p} (x)p(y|x))= \sum_{x,y}\bar{p}(x,y)[\log\bar{p} (x)+ \log p(y|x)]= \sum_{x,y}\bar{p}(x,y)\log\bar{p} (x)+ \sum_{x,y}\bar{p}(x,y)\log p(y|x)$

一旦样本确定，第一项就是个常数，可忽略。

故 $L_{\bar{p} }= \sum_{x,y}\bar{p}(x,y)\log p(y|x)$

梯度下降法求解

http://www.cnblogs.com/pinard/p/7048333.html

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