2018-10-14

第八章 下

  • 反Z变换
    • 1、级数展开法
      • 将各个元素与f(k)对号入座
      • 实现途径：常除
      • 1、用这种方法容易求得信号的前面的几个点上的值，但是无法得到解析式
      • 2、可以得到好几个解
      • 3、无法与收敛域结合，得到正确的函数
    • 2、部分分式展开法
      • LT的Heaviside分解法，是利用已知的Z变换的结果计算反Z变换
      • 1、单边ZT的反变换
        • 基本变换
          • \mathscr{Z}\{v^k\varepsilon(k)\} = \frac{z}{z-v}
          • \mathscr{Z}\{kv^{k-1}\varepsilon(k)\} = \frac{z}{(z-v)^2}
          • \mathscr{Z}\{\frac{k!}{(n-1)!(k-n +1)!}v^{k-n+1}\varepsilon(k)\} = \frac{z}{(z-v)^n}
          • \mathscr{Z}\{v^{k-1}\varepsilon(k-1)\} = \frac{1}{z-v}
          • \mathscr{Z}\{\frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-n)!}v^{k-n}\varepsilon(k-1)\} = \frac{z}{(z-v)^n}
        • 2、计算方法
          • 对\frac{F(z)}{z}进行部分分式展开，对应于基本的公式，可以得到原函数
      • 双边Z变换的反变换计算
        • 与双边LT反变换一样，在双边ZT中F(z)的原函数与其收敛区间有关
        • \mathscr{Z}\{v^k\varepsilon(k)\} = \frac{z}{z-v}
        • \mathscr{Z}\{-v^k\varepsilon(-k-1)\} = \frac{z}{z-v}
    • 3、留数法
      • 1.通过计算留数，可以得到原函数
        • f(k) = \frac{1}{2\pi j}\oint F(z)z^{k-1}dz = \sum_{i}Res_i[F(z)z^{k-1}]|_{c\text{内各极点}}
          • k大于一定值
          • z= 0处无极点，不要计算z = 0的各阶留数
        • f(k) = -Res[F(z)z^{k-1}]|_{c\text{外的各极点}} - Res[F(z)z^{k-1}| _{\infty}]
          • Res[f(z)]_{\infty} = Res[f(\frac{1}{z})z^{-2}]
          • k小于一定值
          • 不要考虑z= 0的点，不要计算z = 0的各阶留数，但会涉及z = \infty处留数的计算
  • ZT和LT关系
    • ZT的对象是离散时间序列，而LT的对象是连续时间信号
    • 理想的抽样信号的LT与其相应的离散序列的ZT之间的关系
      • F(s) = F(z)|_{z = e^{sT}}
      • F(z) = F(s)|_{s = \frac{1}{T}\ln{z}}
      • S平面和Z平面的映射关系
        • z = e^{sT}
        • s = \frac{1}{T}\ln{z}
    • 假设：z = |z|e^{j\theta}
      • s = \sigma + j\omega
    • 则有：|z| = e^{\sigma T}
      • \theta = \omega T
    • s平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内
    • s平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外
    • s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上
    • 映射不是一一对应的关系，相交\theta 随着\omega以\frac{2\pi}{T}为周期重复，Nyquist取样率\omega_m < \frac{\omega_s}{2} = \frac{\pi}{T}
    • f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma +j\omega}F(s)e^{st}ds
    • f(kT) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{skT}ds
    • 对序列求Z变换
      • F(z) = \mathscr{Z}\{f(kT)\} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{skT}ds\cdot z^{-k}
      • = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)\sum_{k = 0}^{\infty}e^{skT}z^{-k}ds
      • \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma +j\infty}\frac{F(s)}{1-e^{sT}z^{-1}}ds
        • \sum_{i}Res(\frac{zF(s)}{z - e^{sT}})_{F(s)在左半平面各极点}
  • 离散时间系统ZT分析法
    • 在离散时间系统中同样也可以通过ZT，将求解差分方程的问题转换为求解代数方程的问题，通过对差分方程取ZT，自动引入初始条件，一次性得到系统的全响应
    • r_{zi}的ZT求解法
      • \sum_{i = 0}^n a_ir_{zi}(k + i) = 0
        • \sum_{i = 0}^na_i[z^i(R_{zi}(z) - \sum_{l = 0}^{i -1}r_{zi}(l)z^{-l})] = 0
        • R_{zi} = \frac{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i\sum_{l = 0}^{i-1}r_{zi}(l)z^{-l}]}{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i]}
    • r_{zs}的ZT求解法
      • r_{zs}(k + n) + a_{n-1}r_{zs}(k +n-1) +...+ a_1r_{zs}(k +1) +a_0r_{zs}(k) = b_me(k +m) +b_{m-1}e^{k +m-1} +... + b_1e(k +1) +b_0e(k)
      • r_{zs}(k) +a_{n-1}r_{zs}(k-1) +...+a_1r_{zs}(k-n +1) +a_0r_{zs}(k-n) = b_me(k +m-n) +b_{m-1}e(k +m-n-1) +... + b_1e(k-n+1) + b_0e(k-n)
      • 1.初始状态为零，激励信号也是一个有始信号,对于因果系统(m<=n)
      • R_{zs}(z) + a_{n-1}z^{-1}R_{zs}(z) +... + a_1z^{-n+1}R_{zs}(z) +a_0z^{-n}R_{zs}(z) = b_mz^{m-n}E(z) +b_{m-1}z^{m-n-1}E(z) +... +b_1z^{-n+1}E(z) + b_0z^{-n}E(z)
        • R_{zs}(z) = \frac{b_mz^{m-n} +b_{m-1}z^{m-n-1} +... +b_1z^{-n+1} + b_0z^{-n}}{1 +a_{n-1}z^{-1}+... +a_1z^{-n+1}+a_0z^{-n}}E(z)
        • H(z) = \frac{b_mz^{m-n} +b_{m-1}z^{m-n-1} +... +b_1z^{-n+1} + b_0z^{-n}}{1 +a_{n-1}z^{-1}+... +a_1z^{-n+1}+a_0z^{-n}}
        • 系统的转移函数
        • H（z）是系统的单位函数响应的ZT
          • H(z) = \mathscr{Z}\{h(k)\}
    • 系统的全响应
    • R(z) = R_{zi}(z) + R_{zs}(z)
      • = \frac{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i\sum_{l = 0}^{i-1}r_{zi}(l)z^{-l}] +\sum_{i = 0}^m[b_iz^i]E(z)}{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i]}
    • 直接求解法
      • 对差分方程的两边同求ZT，并带入初始条件
        • r(k + n) + a_{n-1}r(k +n-1) +...+ a_1r(k +1) +a_0r(k) = b_me(k +m) +b_{m-1}e^{k +m-1} +... + b_1e(k +1) +b_0e(k)
          • \sum_{i = 0}^na_ir(k +i) = \sum_{i = 0}^mb_ie(k +i)
          • R(z) = \frac{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i\sum_{l = 0}^{i-1}r(l)z^{-l}] + \sum_{i = 0}^m[b_iz^i\sum_{l =0}^{i -1}e(l)z^{-l}] + \sum_{ i = 0}^mb_iz^iE(z)}{\sum_{i = 0}^n[a_iz^i]}
  • 离散时间系统的稳定性
    • 充分必要条件是其单位函数响应绝对可和
      • 传输函数的极点在单位圆内部
      • 单位圆上有单极点,则系统临界稳定
    • H（z）的分母D(z)比较复杂(三次以上的多项式)
      • 引入z = \frac{\lambda +1}{\lambda -1}双线性变换
      • 这是一个单映射,映射后仍然是一个有理函数
      • Z平面单位圆以外映射到\lambda平面右平面
      • Z平面单位圆以内映射到\lambda平面左平面
      • 判断根的情况依然可以用罗斯-霍维斯准则
  • H(z)的实现
    • 离散时间系统的变换域框图
      • 加法器--数字加法器
      • 乘法器--数字乘法器
      • 延时器--移位相乘器
    • 数字滤波器的分类
      • 按照传输函数的形式
        • 递归滤波器,或者自回归滤波器AR
          • H(z) = \frac{b_0}{z^n + z_{n-1}z^{n-1} +... +a_1z + a_0}
        • 非递归滤波器,或者滑动平均MA滤波器
          • H(z) = b_mz^{-m} +b_{m-1}z^{-m + 1} +... + b_1z^{-1} + b_0
        • 自回归滑动平均ARMA滤波器
          • H(z) = \frac{ b_mz^{-m} +b_{m-1}z^{-m + 1} +... + b_1z^{-1} + b_0}{z^n + z_{n-1}z^{n-1} +... +a_1z + a_0}
      • 根据其单位函数响应分
        • 有限单位响应滤波器FIR ---MA
        • 无限单位响应滤波器IIR ---AR,ARMA
  • 离散时间序列的傅里叶变换DTFT
    • 一般信号的DTFT
    • Z变换的公式
      • f(k) = \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}F(z)z^{k-1}dz
        • 积分路径c是一个包围z平面原点的闭合路径
        • 假设F(z)的收敛区间包括单位圆,则可以令c等于单位圆
        • z = e^{j\omega},\omega从\pi到-\pi
        • f(k) = \frac{1}{2\pi j}\oint_{z = e^{j\omega}}F(z)z^{k-1}dz
          • = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}F(e^{j\omega})e^{jk\omega}d\omega
          • F(e^{j\omega}) = F(z)|_{z = e^{j\omega}}
          • \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)e^{-jk\omega}
    • 离散傅里叶变换公式
      • F(e^{j\omega}) = DTFT\{f(k)\} = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)e^{-jk\omega}
      • f(k) = IDTFT\{F(e^{j\omega})\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}F(e^{j\omega})e^{jk\omega}d\omega
      • 离散序列f(k)可以分解为一系列幅度为无穷小的离散复正弦序列e^{jk\omega}(-\pi < \omega < \pi)的和
      • DTFT存在充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆
      • 连续时间信号f(t)的FT存在的充分必要条件是LT的收敛区间包含虚轴
      • 正变换计算出的F(e^{j\omega})是一个周期等于2\pi的函数，反变换使用到区间(-\pi,\pi)中的部分
        • F(e^{j\omega}) = DTFT\{f(k)\} = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)e^{-jk\omega}
          • -\pi <\omega <\pi
        • f(k) = IDTFT\{F(e^{j\omega})\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}F(e^{j\omega})e^{jk\omega}d\omega
      • 实际应用，考虑到时间采样信号的取样率DTFT
        • F(e^{j\Omega T}) = DTFT\{f(kT)\}
          • = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(kT)e^{-jk\Omega T}
          • -\frac{\omega_s}{2} < \Omega <\frac{\omega_s}{2}
          • f(kT) = IDTFT\{F(e^{j\Omega T})\}
            • \frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\omega_s}{2}}^{+\frac{\omega_s}{2}}F(e^{j\Omega T})e^{jk\Omega T}d\Omega
        • eg:f(k) = e^{j\omega_0 k}的DTFT
          • F(e^{j\omega}) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}e^{j\omega_0 k}e^{-j\omega k} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}e^{j(\omega_0 - \omega)k}
            • 公比：e^{j(\omega_0 - \omega)}
            • \omega_0 - \omega \neq 2n\pi时
              • F(e^{j\omega}) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}e^{j(\omega_0 - \omega)k}
                • \frac{1 - e^{j(\omega_0 - \omega)}}{1-e^{j(\omega_0 - \omega)}}- 1 = 0
            • \omega_0 - \omega = 2n\pi时
              • F(e^{j\omega_0}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}1 = +\infty
                • F(e^{j\omega})是一个间隔等于2\pi的冲激序列，冲激出现在频率\omega = \omega_0 - 2n\pi上。
            • F(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}2\pi \delta(\omega - \omega_0 + 2n\pi)
      • DTFT\{\cos(\omega_0 k)\} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}\pi[\delta(\omega-\omega_0 +2n\pi) + \delta(\omega + \omega_0 +2n\pi)]
      • DTFT\{\sin(\omega_0 k)\} = \sum_{-\infty}^{+\infty}-j\pi[\delta(\omega - \omega_0 + 2n\pi) - \delta(\omega +\omega_0 +2n\pi)]
  • 离散序列傅里叶级数(DFS)
    • 周期性离散时间序列也可以展开成傅里叶级数,也就是可以展开为一系列正弦或者复正弦信号的和。
    • F(m) = DFS\{f(k)\} = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}f(k)e^{-j(\frac{2\pi}{N})mk}
      • 0 \leq m < N
    • f(k) = IDFS\{F(m)\} = \sum_{m = 0}^{N-1}F(m)e^{j(\frac{2\pi}{N})mk}
    • 分解为N个离散时间序列,分解的复正弦正交子信号集为
      • \{1,e^{j\frac{2\pi}{N}t},e^{j2 \times \frac{2\pi}{N}t},e^{j3 \times \frac{2\pi}{N}t},...,e^{jm \times \frac{2\pi}{N}t},...,e^{j(N-1) \times \frac{2\pi}{N}t}\}
  • DTFT的性质
    • 1、线性性质
      • DTFT\{a \cdot f_1(k) + b\cdot f_2(k)\} = a\cdot DTFT\{f_1(k)\} + b\cdot DTFT\{f_2(k)\}
    • 2.时域平移特性
      • 假设DTFT\{f(k)\} = F(e^{j\omega})
      • 则:DTFT\{f(k - k_0)\} = e^{-jk_0\omega}F(e^{j\omega})
    • 3.频域平移特性
      • DTFT\{e^{j\omega_0k}f(k)\} = F(e^{j(\omega - \omega_0)})
    • 4.频域微分特性
      • DTFT\{-jk\cdot f(k)\} = \frac{d}{d\omega}F(e^{j\omega})
    • 5.序列的反摺特性
      • DTFT\{f(-k)\} = F(e^{-j\omega})
    • 6.奇偶虚实性
      • DTFT具有与连续信号傅里叶变换相同的奇偶虚实性
        • 如果f(k)是一个实数序列，则F(e^{j\omega})的实部或幅度满足偶对称性，虚部或相角满足奇对称性
        • 如果f(k)是一个实偶序列，则F(e^{j\omega})只有实部，虚部一定等于零。
        • 如果f(k)是一个实奇序列，则F(e^{j\omega})只有虚部，实部一定等于零。
    • 7.卷积定理
      • DTFT\{f_1(k)\ast f_2(k)\} = DTFT\{f_1(k)\}\cdot DTFT\{f_2(k)\}
      • DTFT\{f_1(k)\cdot f_2(k)\} = \frac{1}{2\pi}DTFT\{f_1(k)\}\ast DTFT\{f_2(k)\}
    • 8.帕色伐尔定理
      • \sum_{k = -\infty}^{+\infty}|f(k)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}|F(e^{j\omega})|^2d\omega
  • 离散时间系统频率响应
    • 这里的频率响应是指系统对离散正弦信号\cos(\omega k)或离散复正弦信号e^{j\omega k}的响应。
    • 离散时间系统的频率响应
      • 在复正弦信号e^{j\omega k}的激励下,系统的响应:
        • r(k) = h(k) \ast e^{j\omega k} = \sum_{i = -\infty}^{+\infty}h(i)e^{j\omega(k-i)}
          • (\sum_{i = -\infty}^{+\infty}h(i)(e^{j\omega})^{-i})e^{j\omega k}
            • H(e^{j\omega})e^{j\omega k}
        • 系统对复正弦信号的相位和幅度的影响,可以由传输函数在Z平面单位圆上的值确定，其幅频和相频响应分别为|H(e^{j\omega})|,arg[H(e^{j\omega})]
        • 与连续时间系统中的结论中一样其幅频响应是频率的偶函数,相频特性是频率的奇函数，与连续时间系统不同的是，这里的幅频响应函数和相频响应函数都是以2\pi为周期的周期性函数
        • 如果考虑到正弦序列是对实际正弦信号e^{j\Omega t}，按照取样间隔T取样得到的：e^{j\Omega kT},此时的响应：r(kT) = h(kT) \ast e^{j\Omega kT} = H(e^{j\Omega T})e^{j\Omega kT}
  • 离散时间系统与连续时间系统变换域方法的比较
    • 1.正反变换公式
      • 1.变换公式
        • 连：拉普拉斯变换--单边，双边
        • 离：Z变换 --单边，双边
      • 2.收敛域
        • 右边信号：
          • 连：某平行与虚轴的直线为边界的右半平面
          • 离：某以原点为圆心的圆的外部
        • 左边信号：
          • 连：某平行与虚轴的直线为边界的左半平面
          • 离：某以原点为圆心的圆的内部
        • 双边信号：
          • 某两个平行于虚轴的直线为边界的条状平面
          • 某两个以原点为圆心的圆之间的环状区间
      • 3.反变换计算方法
        • 连：按定义，部分分式分解，留数法
        • 离：按定义，部分分式分解，留数法，常除法
        • 在留数法中：
          • 连：按照约当辅助定理确定围线方向
          • 离：直接计算
    • 2.离散时间系统变换域分析
      • 1、分析方法
        • 分析因果系统对有始信号的响应
          • 连：单边拉普拉斯变换
          • 离：单边Z变换
        • 分析一般系统对双边信号的响应
          • 连：双边拉普拉斯变换
          • 离：双边Z变换
      • 2.关键性质
        • 连：单边拉普拉斯的微分性质
        • 离：单边Z变换的移序性质
      • 3.零状态响应
        • 连：R(s) = H(s)E(s)
        • 离：R(z) = H(z)E(z)
      • 4.系统函数
        • 连：与微分方程系数直接有关
        • 离：与差分方程系数直接相关
    • 3.傅里叶变换
      • 1.信号的傅里叶变换
        • 连：FT--拉普拉斯变换必须包含虚轴
        • 离：DTFT--Z变换必须包含单位圆
      • 2.周期信号的傅里叶级数
        • 连：FS--分解成无穷个正弦信号的和
        • 离：DFS--分解成有限个正弦信号的和
      • 3.系统的频率特性与频谱
        • 连：H(j\omega)--拉普拉斯变换在虚轴上的值
        • 离：H(e^{j\omega})--Z变换在单位圆上的值
        • 是频率的周期性函数
      • 4.频响与极零图
        • 连：频率点在S平面虚轴上移动
        • 离：频率点在Z平面单位圆上移动
      • 5.特殊系统
        • 全通系统
          • 连：极点和零点关于虚轴一一对应
          • 离：除了在原点的极零点以外，其他的极零点关于单位圆镜像对称
        • 最小相位系统
          • 连：极点和零点都处于左半平面
          • 离：极点和零点都处于单位圆内
    • 4.系统稳定性
      • 1、稳定性判断
        • 连：h(t)绝对可积
          • \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt <\infty
          • 系统函数的极点在S平面虚轴以左平面内
        • 离：h(k)绝对可和
          • \sum_{k = -\infty}^{+\infty}|h(k)|< \infty
          • 系统函数的极点在Z平面单位以内
        • 临界稳定
          • 连：除了在左半平面内的极点以外，虚轴上只有单极点
          • 离：除了单位圆内部的极点外，在单位圆上只有单极点
      • 2.判定方法
        • 连：直接求极点，罗斯霍维斯准则
        • 离：直接求极点，双线性变换 --罗斯霍维斯准则
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