姓名：赵嘉懿  学号：22021110308  学院：电子工程学院

物质、能量和信息三位一体。因为微观上看，能量波和物质粒子性是不同的表现形式，也可说物质（能量）与信息二位一体。因为信息是寄生于物质能量基础上的，物质能量是第一位，信息（延伸为精神）是第二位的，物质能量决定信息（精神），验证唯物主义的正确性。信息的载体是物质，信号是信息的表现形式。信号处理就是从观测信号中获得隐含的信息。在学习概率统计之前，我学习的都是确定的函数。而在现代信号处理课程中，我接触到的是随机信号。随机信号从定义上说就是数值或者观测值是随机变量的信号。所谓随机，就是指这个信号取值是服从某种概率分布规律的。从随机的这个定义可以看出，这里所指的随机，并不是真正的“随机”，而也是遵循一定规律的。比如计算机中的随机函数，其实是伪随机，我们通过计算机所得到的这个“随机数”，其实是符合一定公式的。这就警醒我们，平常我们实验中，通过电脑进行各种仿真的信号生成，其实并不一定反应真实的信号规律。借用我喜欢的一本书中所提到的一句话——科学是基于规律的。我们通过不断实验，观察规律得出结论，这就是科学的含义。举个例子，我们可以把人类比作农场中的火鸡，农场主每天上午10点进入鸡窝喂食，日复一日，有一天一只伟大的火鸡发现了这个规律，对其他火鸡宣布：“每天上午10点会有食物！”那么，这只火鸡得到的规律是真实的吗？很显然，农场主他并不是真“随机”的变量，就好比电脑生成的随机数也不是真随机的，那么我们通过仿真实验所获得的结果，发现的这个规律，很可能并不是真实的规律。从这一面我们可以体会到，只是经过仿真检验的信号处理方法，它并不一定适用于实际的信号数据，我们还是要基于实际，从实测数据出发解决实际问题。

话绕回来，前面我们提到过随机信号某个时刻的取值时获得的值都是不确定的。而对每次取值来说，每个x(t)函数(样本函数)就是实际发生的一个表达式确定的函数，对每个x(t)的处理，都是与之前确定函数的处理方法相同的，但是由于我们没法确定某次究竟发生哪个确定表达式的x(t),所以我们只能研究发生哪种情况的概率大些，或者当这件事多次发生时，呈现出来的统计特性是什么。虽然每个x(t)的特性是不定的，但是x(t)的统计特性却是确定的，所以我们研究的还是变量中的不变量，这就是概率统计。即随机信号可以用其统计特性来加以描述。

统计特性理论上可以分为一阶、二阶、三阶或高阶的统计特性，比如均值，即信号的期望就是一阶的统计特性。显然，光光从信号的一阶统计特性，并不能很好描述一个随机信号，这时我们就去寻求信号二阶或者更高阶的统计特性，以更好的描述信号。比如相关函数、协方差函数、功率谱密度等就是最常用的描述平稳随机信号统计特性的二阶统计量。

现代信号处理课本上说均值和方差只刻画随机过程X(t)在各个独立时刻的概率统计特性，反应不了随机过程的内在相关性，所以才引入了自相关函数。从引入自相关函数的目的看来，它是为了分辨形状不同的x(t)，所以带入

公式的值应该是每个x(t)上取两个时刻的函数值自己相乘，这样才能反应x(t)的差异。而因为前面所说，我们面对的不是一定会发生的某个x(t)，而是一组均可能发生的x(t)。所以应该对每个样本函数取两个时刻的函数值相乘后做统计平均来获得这一组样本函数的统计特性，或者是平均特性。在这里我想说一下自己对于统计平均曾经的错误理解和修正：物理实验处理数据时，我们求的都是算术平均，即每个记录值的权重是相同的。然而求期望时，我们的算的是加权平均。看似矛盾但实则相同。这是因为算术平均时若是数值相同的数出现多次，那么这个数就被重复的代入多次，事实上某数出现的频率就是它的权重。而当引入概率密度函数时，因为横轴上的x是不会出现重复值的，所以要用频率来做纵坐标表现某个x出现可能性的大小。

假设实际发生了n个样本函数；(在实际工程中不可能测无穷组数据，只能是测n组数据)，分别为x1(t)，x2(t)，x3(t),…xn(t);这n个样本函数是可以出现表达式(形状样子)相同的，但是下标仍然是各不相同，在这种前提下每个样本函数的权值是相同的。所以X(t)的自相关函数的表达式就应为：

应该注意的是样本函数下标的对应关系。它体现了自相关函数真正想表达的含义。因为自相关函数在实际工程中是被测出来，再拟合成某个数学表达式的，而不像题目中直接告诉成一个成型的式子。所以在工程中如何对一系列测得的值进行关系正确的运算组合是至关重要的。有些人不理解为什么不同的样本函数之间不能相乘。这要从随机过程的研究对象与确定函数的异同说起。我想若是研究某个确定函数x1(t)的特征，大家肯定不会觉得研究过程会和x2(t)有什么联系。而随机过程的研究和确定函数的研究相同点就是：虽然随机过程中每次究竟会发生哪个样本函数并不确定，但是一旦发生，则就是这个样本函数，不会串扰了。那么对于这个已成事实的样本函数，研究方法和对确定函数的研究是相同的。而随机过程与确定函数的不同就在于：这个样本函数并不是次次都发生，所以要求统计特征。但是统计特征的获取是在把每个样本函数当作确定函数处理变换后，再对变换后的一系列新的样本函数求算术平均(类比X是一个连续的随机变量，其概率密度函数为f(x),y=g(x),求y的统计特性)。所以求算术平均前的操作都是限制在各个样本函数内部的，不同样本函数间不发生关联。求算术平均前的操作即为与确定函数相同的地方。

然而既然引入自相关函数的目的是为了描述样本函数变化的剧烈程度，直观的想，本人会在一个样本函数上取两个时刻的函数值，然后让他们相减，看差距的大小来判断样本函数变化的剧烈程度。虽然自相关函数的引入是从描述样本函数的变化剧烈程度来的，但是自相关函数的真正作用并非如此，纵览现代信号处理全书，非常多的统计特性量都是由自相关函数变化而成，所以自相关函数的是基本要素。

所以用自相关函数作为作为基本元素的好处就是对于一个随机信号，只需实际测出一些值算出(拟合出)自相关函数的表达式，之后若是想得到这个随机信号的其他数字特征都可以基于测得的相关函数通过一些变换(如加减、积分、求导)得出，而不用每想求一个统计特征时都得实际测量一组值了。

互相关函数与自相关函数类似，只不过是两个不同的随机过程的两个样本函数作为输入量。自相关是互相关的一种特殊情况。互相关函数是描述随机信号x(t)、y(t)在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度，其定义为：

对于连续函数，有定义：

互相关函数反应的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度；自、互相关函数都是对相关性，即相似性的度量。如果对其进行归一化，则会看的更清楚。总的来说，自相关就是函数和函数本身的相关性，当函数中有周期性分量的时候，自相关函数的极大值能够很好的体现这种周期性。互相关就是两个函数之间的相似性，当两个函数都具有相同周期分量的时候，它的极大值同样能体现这种周期性的分量；相关运算从线性空间的角度看其实是内积运算，而两个向量的内积空间在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影，表示两个向量的相似程度，所以相关运算就体现了这种相似程度。

协方差函数我们可以这么理解：如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。这可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同方向或反方向程度如何？你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的；你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的；从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。

另外一个概念是功率谱密度，随机信号的功率做傅里叶变换可以得到功率谱。功率谱密度是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”，即均方值。 功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是均方值，当均值为零时均方值等于方差，即响应标准偏差的平方值。

虽然功率信号有无穷大的能量，其能量积分不存在，但是可以由片面到全部来看待问题。我们可以先截取一段功率信号ST(t),-T/2<t<T/2。这样就可以作傅里叶变换了，FFT之后得到ST（f）。由帕西瓦尔定理得，能量E=ST（t）的平方在T时间段的积分=ST（f）的平方在无穷频率上面的全部积分，于是可以得功率谱密度。为什么一下子就“可得功率谱密度”为这个形式了呢？可以这么想：E=ST（t）是表示能量的，所以当对时间域或者频率域上的对应函数的平方作积分时会得到能量，但是我们想得到的是功率，所以不要作积分。这里取极限是只因为要把截取的一段信号扩展到信号的全部。而对频域函数作平方是有能量的含义。除以T的含义是功率的方向。总的来说，只要对ST（f）作频率域从负无穷到正无穷的积分就可以得到信号的全部能量除以时间T的形式，这就是直白的功率定义，功率定义就是单位时间的能量，即功率也含有能量的成分，这里的平方是有能量的含义，除以T是把能量归一化到全部时间T上，这样只要再作一步对频率的积分就可以得到功率（单位时间的能量），而频谱密度的含义就是单位赫兹的能量。这是在得到功率之前的前一步，即没有对频率积分，所以也就是密度的含义，而处理对象是频率，也就是频谱密度。

在许多实际应用中，我们对两个信号之间的统计比较感兴趣，识别两个信号的异同就需要分析其独立性、相关性、正交性等特性。具体来说，独立性描述的是随机变量间的"一般"关系。如果两个随便变量之间没有任何关系，我们称这两个随机变量独立，定义为P(XY)=P(X)P(Y)。相关性一般描述的是随机变量间的线性关系，可以用相关系数来衡量。两个随机变量不独立说明它们具有某种关系，我们可以从一个随机变量得到另一个随机变量的信息。两个随机变量具有相关性则描述的是它们之间具有特定关系，一般指线性关系。所以，(线性)相关一定不独立，因为线性相关也是一种关系；不独立不一定相关，因为不独立可以存在其它非线性关系。即相关系数为0是两变量独立的必要非充分条件。

至于正交性，其定义是：若俩随机变量y1与y2正交，且y1中不含有y2的任何成分，y2也不含有y1的任意成分，则这两个随机变量y1、y2是正交的。数学上可以定义为：E{y1·y2}=0。对于信号的正交性，在实际雷达应用中却也是应用广泛：

比方说，理论上实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。

通信、雷达一般都具有一个载波。早期通信的载波为正弦波，通过调制传输信息，发射和接收的都是实信号，接收后要把调制信号从载波里提取出来，通常的做法是将载频变频到零（称为零中频）。我们知道，通常的变频相当于将载频下移，早期的调幅接收机将下移到较低的中频，其目的是方便选择信号和放大，然后通过幅度检波（调幅信号的载波只有幅度受调制）得到所需的低频信号，现代的信号有各种调制方式，为便于处理，需要将频带内的信号的谱结构原封不动的下移到零中频(一般称为基带信号)。很显然，将接收到的实信号直接变到零中频是不行的，因为实信号存在共轭对称的双边谱，随着载频的下移，正、负相互接近，到中频小于信号频带一半时，两部分谱就会发生混叠，当中频为零时混叠最严重，使原信号无法恢复，这时应在变频中注意避免正、负谱分量的混叠，正确的获取基带信号。

实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。复信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。

难于理解虚数的含义，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像四维以上的空间，难以在人脑里建立其形象的影像一样。对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。但是，对于一个搞雷达通信或是信号处理的人来说，由于正交信号的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。下面说就说我的一知半解：

从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。

对于一个时域复数信号，实部和虚部分别代表了正交的信息。就像QPSK的调制信号，这一点不难理解。另一个时域的重要性质是两个复数分量的和，是一个实数余弦。

在考虑复频域的概念之前，我们先回忆一下傅里叶变换的物理意义：一个任意信号可以分解成谐波相加的形式。对于一个实数周期信号，可以直观的将其分解成多个不同相位的余弦谐波。但是，在傅里叶变换中，基本信号是复数分量，也就是说，频域信号是在复频域上表现的。对于实数信号，复频域上的共轭对称，保证了所有基本信号的虚部抵消；当然，傅利叶变换是适用于所有复数信号的。

对于复频域，一个频率上的模的平方，表示这个频率分量能量的大小；相位，表示时域上初始相位；正负频率分别表示，在时域复平面内，向两个逆顺时针不同方向转动相位所展现的频率。

复数信号处理的好处有：由于对相位的确定，使相干检测成为可能；对于数字通信，在基带处理带通信号，可以是有效带宽减少一半，进而对于AD 的采样率要求，FFT的处理能力等都有改善，比如在OFDM系统中发射机中在基带完成的IFFT block等。通过一个简单的QPSK系统，可以对以上理论有更深刻的了解。

解析信号的实部和虚部是正交的，是希尔伯特变换对，实部就是原信号或者说是实际存在的信号。由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号。在雷达信号中，对于中频信号需要变换成零中频的复信号，称为视频信号（不一定解析，但是实部和虚部是正交的），有正交变换法，希尔伯特变换法，多相滤波法，插值法等多种方法，可以根据具体要求选取适当的方法。这些方法在雷达原理、软件无线电、通信理论等书籍和文献中都能找到很多。用复信号表示信号，构造解析信号减少一半频带是一个优点；用来表示实信号时，运算简便也是一个很重要的优点。

不过在雷达信号中，相干视频信号一般都不是解析信号。I、Q两路信号仍然满足希尔伯特的关系，实际中两路信号满足希尔伯特变换知识理想的情况，而我们在工程中是很难实现的，因此就采用了I、Q两路的方式来做就是说正交检波的话，得到I、Q两路信号，刚好 I路就是实部，Q路就是虚部。

在产生雷达信号是，得到两倍的带宽可以降低采样率的，这样就降低了对A/D的要求。正交检波的接收机把信号的实部虚部都得到，这样就相当于把整个信号得到了，平方求模得幅度，相除反正切求相位，就是这样得。

任何信号包括雷达信号实际上都是实信号，复信号是为了分析复解析信号而提出的，也为引入I、Q双通道的概念，因为在雷达系统中，信号的产生通常采用正交调制的方式产生，这可以获得一般调制的2倍带宽。