恒化器模型

在发酵工程中，恒化器是非常常见的一类设计，如图一所示，它通过以恒定流速对目标腔室输入，输出物质，以获得所培养生物产生的次级代谢产物。而在生物学中，类似模型也非常常见，比如血液以恒定流速流经目标组织。因此，我们在本帖中将尝试对恒化器模型进行建模：

图一恒化器模型（节选自课本121页）

首先，我们需要思考，恒化器与之前在试管或锥形瓶中培养细菌的区别是什么：恒化器系统变成了开放系统，有恒定的营养补充C0，有恒定的液体流出，同时带走一部分细菌与培养基。因此，我们可以升级我们原先的模型：对于细菌数目N的变化，与原先不同的地方在于有细菌不断流出，所以需要减去单位时间内流出的细菌，我们定义流速为F volume/time，细菌培养室体积为V volume 则有：

$dN=K(C)N\ dt-\frac{F}{V} N\ dt$

$dC=-\alpha K(C)N\ dt-\frac{F}{V} C\ dt+\frac{F}{V} C_{0}\ dt$

将dt乘到等式右边则为N，C对时间的变化率。

量纲检查 (Dimensional Analysis)

一个正确的系统的量纲必然是统一的，10kg永远不可能等于10m。让我们对上述建模进行量纲检查：

$\frac{dN}{dt} \ \frac{\#}{time}= K(C)\ \frac{1}{time}*N\ \#-\frac{F}{V} \ \frac{volume}{time*volume} *N\ \#$

可以得出等式两边的量纲是统一的。

这里很容易犯一个错误，将N变化率中新添加的减去项误认为FN，而不除水箱体积造成错误。在课程中老师就故意先犯了这个错误，并使用量纲检查的方式检查出了错误。

但是要注意，量纲正确是模型正确的必要条件，而不是充要条件，10kg也不等于100kg。

无量纲化 (Nondimensionalization)

我们已经知道，增长率 K(C)随食物浓度增加而增长，但是最多也只能达到某个极限值。为了便于计算与操纵关键值，我们引入米氏方程，并假设K(C)的变化符合米氏方程，

$K(C)=K_{max}\frac{C}{K_{n}+C}$

如图二：其中K_max是K(C)增长的极限，K_n是K(C)达到一半最大值时对应的浓度。

图二米氏方程（引用自课本125页）

ps：个人闲话：在建模过程中我们经常引入各种假设，假设某个过程符合某个函数，仿佛非常武断。但是，在建模过程中我们经常遇到只知道有限信息的变量，我们只能根据有限的信息对其函数化。比如这里的米氏方程，logistic model 中的 intrinsic growth rate。事实上，我们的模型几乎不可能完全符合自然状况。在生物学中，我们需要的也仅仅是建立出大概符合状况的等式并分析出平衡点，而不是去尽善尽美地复现大自然。在这里的米氏方程，logistic model 中的 intrinsic growth rate都能够满足对应问题中的分析需求，这样这些模型就是优秀的模型。如果在新的问题中，模型不符合实际状况，我们就需要分析新的状况，并对原先的模型进行修改，达到新的要求。

将新的K(C)带入方程，获得新的模型：

$\frac{dN}{dt}=K_{max}\frac{C}{K_{n}+C}N-\frac{F}{V}N$

$\frac{dC}{dt}=-\alpha K_{max}\frac{C}{K_{n}+C}N+\frac{F}{V}C_{0}-\frac{F}{V}C$

这个模型越来越趋近真实情况，但是在这个模型中，我们已经使用了太多的常数，有K_max，K_n，F，V，α，C_0共计六个常数，单位也越来越复杂，非常不利于分析。在这种情况下，我们可以进行无量纲化处理。

无量纲化技巧有两个最显著的好处：

1. 在新系统中变量与参数都是没有单位/量纲的

2. 在新系统中含有的参数更少。

方法如下：另

$N=N_{star}\hat{N} \ \ \ \ C=C_{star}\hat{C}\ \ \ \ t=t_{*}\tau$

其中，N为原先的变量，N_star为新的变量，N_hat（N_帽子）为某常数，这个常数带有的单位是N的单位，所以这个常数像一个黑洞一样吸收了所有的单位/量纲。

下面以dN/dt为例，dC/dt请朋友们自行推导：

$\frac{d(N_{star}\hat{N})}{d(t_{star}\tau)}=K_{max}\frac{C_{star}\hat{C}}{K_{n}+C_{star}\hat{C}}N_{star}\hat{N}-\frac{F}{V}N_{star}\hat{N}$

将N_hat和τ乘到等式右边，化简后两式为：

输入了十分钟的公式消失了，气死我了

这样，我们可以利用N_hat，C_hat，τ来吸收掉其他的常数，另

$\tau=\frac{V}{F},\ \ \ \ \ \hat{C} =K_{n},\ \ \ \ \ \hat{N}=\frac{K_{n}}{\alpha \tau K_{max}}$

利用这三个常数，我们就成功地将常数的数目减少到了2个，为了书写方便，我们在不讨论新旧变量时，习惯上使用N替换N_star，C同理：

$\frac{dN}{dt}=\alpha_{1}\frac{C}{1+C}N-N,\ \ \ \ \ \ \alpha_{1}=K_{max}\frac{V}{F}$

$\frac{dC}{dt}=-\frac{C}{1+C}N-C+\alpha_{2},\ \ \ \ \alpha_{2}=\frac{C_{0}}{K_{n}}$

这样，我们就得到一组只有两个常量的方程，接下来的分析过程会得到简化。

稳定状态（steady state）

我们得到模型后，就可以分析恒化器模型中N，C随时间变化的趋势了。当N的导数为0，则有细菌数目不再增长的情况发生。但是，有可能该情况并不稳定，比如有更多的食物进入培养室，K增大，最终细菌的carrying capacity会增大，细菌数目也会继续变化。因此，另dN/dt=0，dC/dt=0，在这种时间点，N，C均无变化，系统进入稳定状态。

情况一：

$N=0,\ so\ C=\alpha_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (N,C)=(0,\alpha_{2})$

可以很容易想象该点发生的情况，如果没有初始细菌，营养源以恒定速率向培养室输入养分，培养室中营养浓度不断上升，最终达到稳定点，不再变化。

个人闲话：这个时候有朋友该问了：平衡点怎么说也应该是C0啊，没有细菌消耗，流出多少补充多少，怎么说都应该是C0，而不是C0/K_n (α_2)。这种想法是正确的，实际发生的情况的确是在C=C0时达到平衡。但是，我们经过无量纲化后，新的变量与老变量（也就是真实情况）之间存在代沟N_hat，所以，如果想代换回真实情况，我们需要在新变量C_star的结果α_2基础上乘C_hat=K_n，这样就能够得到真实值C0。

情况二：

$N>0,\ \ so \ \ (N,C)=(\alpha_1(\alpha_2-\frac{1}{\alpha_1-1}),\frac{1}{\alpha_1-1})\ \ \ \ \alpha_1>1,\alpha_2>\frac{1}{\alpha_1-1}$

由于是自然状态，细菌数目不可能小于0，食物浓度也不可能小于0，因此需要限制函数的定义域，N>0, C>0，另dN/dt=0，dC/dt=0后，可以得到情况2。我们也可以想象，细菌在恒化器模型中生长最终会达到一个上限，这个上限就是这里的N（如果得到真实值要乘N_hat）。

总结：我们通过对封闭系统中细菌生长模型进行修改，得到了恒化器培养细菌的细菌生长模型，并得到了两个稳定状态（steady states）。然而，在自然状态下系统总是受到很多情况的影响，难免会产生震荡。比如，不小心落了一点细菌进入系统，或者由于工作人员的疏忽水流开大了一下，有更多的营养物质加入系统。这个时候，我们就能够想象两种情况的变化，情况一会爆炸似地走向失控，而情况二，只要情况恢复回符合C0,F这些参数不变，在足够长的时间尺度下，系统总会走向这个平衡点。这样，第一个点就是不稳定的，而第二个点就是稳定的了。

但是，这个模型中我们容易想象，很多模型中我们想象不到，应该用怎样的方法去判断稳定状态是不是稳定的呢？这个问题，在下一节模型线性化中进行解答。

生物学数学建模学习-种群增长模型2

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恒化器模型

量纲检查 (Dimensional Analysis)

无量纲化 (Nondimensionalization)

稳定状态（steady state）

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